Odejmowanie ułamków zwykłych — wspólny mianownik

Odejmowanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, a następnie odjęciu liczników. Podobnie jak przy dodawaniu ułamków, mianowniki muszą oznaczać takie same części całości.

Jeżeli ułamki mają jednakowe mianowniki, odejmowanie jest proste: odejmuje się liczniki, a mianownik zostaje bez zmian. Jeżeli mianowniki są różne, najpierw trzeba sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Budowa ułamka zwykłego

Ułamek zwykły zapisujemy w postaci:

\frac{a}{b}

gdzie:

• a — licznik,
• b — mianownik,
• b \neq 0.

Licznik informuje, ile części bierzemy pod uwagę. Mianownik informuje, na ile równych części została podzielona całość.

Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach

Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki, odejmujemy tylko liczniki, a mianownik pozostaje bez zmian.

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}

gdzie:

• a i b — liczniki ułamków,
• c — wspólny mianownik,
• c \neq 0.

W tym przypadku nie zmieniamy mianownika, ponieważ oba ułamki opisują części tej samej wielkości.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Jeżeli ułamki mają różne mianowniki, najpierw trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika.

Dla dwóch ułamków:

\frac{a}{b} - \frac{c}{d}

można zastosować wzór:

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}

gdzie:

• a i c — liczniki,
• b i d — mianowniki,
• b \neq 0,
• d \neq 0.

Wzór ten działa zawsze, ponieważ iloczyn mianowników b \cdot d jest wspólnym mianownikiem obu ułamków.

Wspólny mianownik

Wspólny mianownik to taka liczba, która jest wielokrotnością wszystkich mianowników odejmowanych ułamków. Po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika można odjąć ich liczniki.

Dla ułamków o mianownikach b i d wspólnym mianownikiem może być:

b \cdot d

Nie zawsze jest to najmniejszy możliwy wspólny mianownik, ale zawsze pozwala poprawnie wykonać odejmowanie.

Odejmowanie a wynik ujemny

Podczas odejmowania ułamków wynik może być dodatni, równy zero albo ujemny. Zależy to od tego, który ułamek ma większą wartość.

Jeżeli:

\frac{a}{b} < \frac{c}{d}

to:

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} < 0

Oznacza to, że wynik odejmowania będzie liczbą ujemną.

Najważniejsze zasady

• Ułamki można odejmować bezpośrednio tylko wtedy, gdy mają jednakowe mianowniki.
• Przy jednakowych mianownikach odejmujemy liczniki, a mianownik zostaje bez zmian.
• Przy różnych mianownikach trzeba najpierw sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.
• Wspólnym mianownikiem może być iloczyn mianowników.
• Najwygodniej jest często użyć najmniejszego wspólnego mianownika.
• Po odjęciu ułamków należy sprawdzić, czy wynik można skrócić.
• Wynik odejmowania ułamków może być liczbą ujemną.
• Mianownik ułamka nie może być równy 0.

Podsumowanie

Odejmowanie ułamków zwykłych opiera się na tej samej zasadzie co dodawanie: ułamki muszą mieć wspólny mianownik. Gdy mianowniki są jednakowe, odejmuje się liczniki. Gdy mianowniki są różne, najpierw sprowadza się ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem wykonuje odejmowanie.