Mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000 oraz kolejne potęgi liczby 10 opiera się na przesuwaniu przecinka w zapisie dziesiętnym liczby.
Takie działania są szczególnie ważne przy liczbach dziesiętnych, jednostkach miar, notacji wykładniczej oraz szybkich obliczeniach pamięciowych.
Potęgi liczby 10
Liczby 10, 100, 1000 i kolejne można zapisać jako potęgi liczby 10.
10=10^1 100=10^2 1000=10^3 10000=10^4Wykładnik potęgi informuje, ile zer występuje w liczbie będącej potęgą dziesiątki.
Ogólna zasada mnożenia przez 10, 100, 1000
Przy mnożeniu liczby przez 10, 100, 1000 i kolejne potęgi liczby 10 przecinek przesuwa się w prawo.
Liczba miejsc przesunięcia przecinka zależy od liczby zer:
- przy mnożeniu przez 10 przecinek przesuwa się o 1 miejsce w prawo,
- przy mnożeniu przez 100 przecinek przesuwa się o 2 miejsca w prawo,
- przy mnożeniu przez 1000 przecinek przesuwa się o 3 miejsca w prawo.
Ogólny zapis:
a \cdot 10^noznacza przesunięcie przecinka w liczbie a o n miejsc w prawo.
Mnożenie przez 10
Podczas mnożenia przez 10 przecinek przesuwa się o jedno miejsce w prawo.
Przykłady:
- 4{,}7 \cdot 10 = 47,
- 12{,}3 \cdot 10 = 123,
- 0{,}56 \cdot 10 = 5{,}6,
- 8 \cdot 10 = 80.
Jeżeli liczba jest naturalna, można dopisać jedno zero na końcu zapisu.
Mnożenie przez 100
Podczas mnożenia przez 100 przecinek przesuwa się o dwa miejsca w prawo.
Przykłady:
- 3{,}25 \cdot 100 = 325,
- 0{,}48 \cdot 100 = 48,
- 7{,}1 \cdot 100 = 710,
- 24 \cdot 100 = 2400.
Jeżeli po przesunięciu przecinka brakuje cyfr, dopisuje się zera.
Mnożenie przez 1000
Podczas mnożenia przez 1000 przecinek przesuwa się o trzy miejsca w prawo.
Przykłady:
- 2{,}456 \cdot 1000 = 2456,
- 0{,}075 \cdot 1000 = 75,
- 6{,}8 \cdot 1000 = 6800,
- 13 \cdot 1000 = 13000.
Przesuwanie przecinka w prawo zwiększa wartość liczby.
Ogólna zasada dzielenia przez 10, 100, 1000
Przy dzieleniu liczby przez 10, 100, 1000 i kolejne potęgi liczby 10 przecinek przesuwa się w lewo.
Liczba miejsc przesunięcia przecinka zależy od liczby zer:
- przy dzieleniu przez 10 przecinek przesuwa się o 1 miejsce w lewo,
- przy dzieleniu przez 100 przecinek przesuwa się o 2 miejsca w lewo,
- przy dzieleniu przez 1000 przecinek przesuwa się o 3 miejsca w lewo.
Ogólny zapis:
a : 10^noznacza przesunięcie przecinka w liczbie a o n miejsc w lewo.
Dzielenie przez 10
Podczas dzielenia przez 10 przecinek przesuwa się o jedno miejsce w lewo.
Przykłady:
- 47 : 10 = 4{,}7,
- 123 : 10 = 12{,}3,
- 5{,}6 : 10 = 0{,}56,
- 80 : 10 = 8.
Dzielenie przez 100
Podczas dzielenia przez 100 przecinek przesuwa się o dwa miejsca w lewo.
Przykłady:
- 325 : 100 = 3{,}25,
- 48 : 100 = 0{,}48,
- 710 : 100 = 7{,}1,
- 2400 : 100 = 24.
Jeżeli po przesunięciu przecinka brakuje cyfr po lewej stronie, dopisuje się zera.
Dzielenie przez 1000
Podczas dzielenia przez 1000 przecinek przesuwa się o trzy miejsca w lewo.
Przykłady:
- 2456 : 1000 = 2{,}456,
- 75 : 1000 = 0{,}075,
- 6800 : 1000 = 6{,}8,
- 13000 : 1000 = 13.
Przesuwanie przecinka w lewo zmniejsza wartość liczby.
Zapis liczby naturalnej z przecinkiem
Każdą liczbę naturalną można traktować tak, jakby miała przecinek na końcu zapisu.
Przykładowo:
25 = 25{,}0 8 = 8{,}0Dzięki temu można łatwiej przesuwać przecinek podczas mnożenia i dzielenia przez potęgi liczby 10.
Dopisywanie zer
Podczas przesuwania przecinka czasem brakuje cyfr. Wtedy dopisuje się zera, aby zachować poprawny zapis liczby.
Przy mnożeniu:
6{,}8 \cdot 1000 = 6800Po przesunięciu przecinka o trzy miejsca w prawo trzeba dopisać dwa zera.
Przy dzieleniu:
75 : 1000 = 0{,}075Po przesunięciu przecinka o trzy miejsca w lewo trzeba dopisać zera przed liczbą.
Mnożenie i dzielenie przez kolejne potęgi liczby 10
Te same zasady działają dla większych potęg liczby 10, takich jak 10000, 100000 i 1000000.
| Liczba | Zapis jako potęga | Liczba miejsc przesunięcia przecinka |
|---|---|---|
| 10 | 10^1 | 1 |
| 100 | 10^2 | 2 |
| 1000 | 10^3 | 3 |
| 10000 | 10^4 | 4 |
| 100000 | 10^5 | 5 |
Porównanie mnożenia i dzielenia
| Działanie | Kierunek przesuwania przecinka | Efekt |
|---|---|---|
| Mnożenie przez 10, 100, 1000 | W prawo | Liczba zwiększa się |
| Dzielenie przez 10, 100, 1000 | W lewo | Liczba zmniejsza się |
Najczęstsze błędy
- przesuwanie przecinka w złą stronę,
- przesuwanie przecinka o zbyt małą lub zbyt dużą liczbę miejsc,
- mylenie mnożenia z dzieleniem,
- pomijanie zer podczas przesuwania przecinka,
- dopisywanie zer bez sprawdzenia położenia przecinka,
- traktowanie liczby naturalnej tak, jakby przecinek znajdował się na początku liczby.
Najważniejsze zasady
- Przy mnożeniu przez 10, 100, 1000 przecinek przesuwa się w prawo.
- Przy dzieleniu przez 10, 100, 1000 przecinek przesuwa się w lewo.
- Liczba zer wskazuje, o ile miejsc należy przesunąć przecinek.
- 10 przesuwa przecinek o 1 miejsce.
- 100 przesuwa przecinek o 2 miejsca.
- 1000 przesuwa przecinek o 3 miejsca.
- W liczbie naturalnej przecinek można traktować tak, jakby znajdował się na końcu zapisu.
- Jeżeli brakuje cyfr podczas przesuwania przecinka, dopisuje się zera.
