Podzielność liczb przez 2, 3, 4 i 5 — cechy podzielności

Podzielność liczb oznacza możliwość podzielenia jednej liczby przez drugą bez reszty. Jeżeli liczba dzieli się przez inną liczbę bez reszty, mówimy, że jest przez nią podzielna.

Cechy podzielności pozwalają szybko sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez określoną liczbę, bez wykonywania pełnego dzielenia pisemnego. Na poziomie szkoły podstawowej szczególnie ważne są cechy podzielności przez 2, 3, 4 i 5.

Co oznacza, że liczba jest podzielna przez inną liczbę?

Liczba a jest podzielna przez liczbę b, jeżeli po podzieleniu a przez b otrzymujemy wynik całkowity i resztę równą 0.

Można to zapisać symbolicznie:

a : b = c

gdzie:

• a — liczba dzielona,
• b — dzielnik,
• c — wynik dzielenia,
• a, b i c są liczbami całkowitymi,
• b \neq 0.

Inny zapis tej samej zależności:

a=b \cdot c

Oznacza to, że liczba a jest wielokrotnością liczby b.

Cechy podzielności

Cechy podzielności to proste zasady, które pozwalają rozpoznać podzielność liczby na podstawie jej zapisu dziesiętnego.

Dzięki nim można szybko ocenić, czy liczba dzieli się przez 2, 3, 4 albo 5, bez wykonywania dokładnego dzielenia.

Podzielność przez 2

Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta.

Ostatnia cyfra musi być jedną z cyfr:

0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8

Oznacza to, że o podzielności przez 2 decyduje tylko cyfra jedności.

Przykłady liczb podzielnych przez 2

• 14, ponieważ kończy się cyfrą 4,
• 28, ponieważ kończy się cyfrą 8,
• 100, ponieważ kończy się cyfrą 0,
• 236, ponieważ kończy się cyfrą 6.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 2

• 15, ponieważ kończy się cyfrą 5,
• 27, ponieważ kończy się cyfrą 7,
• 103, ponieważ kończy się cyfrą 3.

Podzielność przez 3

Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Przy sprawdzaniu podzielności przez 3 nie patrzy się tylko na ostatnią cyfrę, lecz na sumę wszystkich cyfr liczby.

Ogólny schemat można zapisać tak:

\text{suma cyfr liczby jest podzielna przez } 3

Przykłady liczb podzielnych przez 3

• 123, ponieważ 1+2+3=6, a 6 jest podzielne przez 3,
• 258, ponieważ 2+5+8=15, a 15 jest podzielne przez 3,
• 300, ponieważ 3+0+0=3, a 3 jest podzielne przez 3.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 3

• 124, ponieważ 1+2+4=7, a 7 nie jest podzielne przez 3,
• 251, ponieważ 2+5+1=8, a 8 nie jest podzielne przez 3,
• 302, ponieważ 3+0+2=5, a 5 nie jest podzielne przez 3.

Podzielność przez 4

Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4.

O podzielności przez 4 decydują więc dwie ostatnie cyfry liczby.

Jeżeli liczba ma tylko jedną cyfrę, sprawdza się bezpośrednio, czy jest podzielna przez 4.

Przykłady liczb podzielnych przez 4

• 124, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 24, a 24 jest podzielne przez 4,
• 316, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a 16 jest podzielne przez 4,
• 500, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 00, czyli 0, a 500 : 4 = 125.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 4

• 122, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 22, a 22 nie jest podzielne przez 4,
• 318, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 18, a 18 nie jest podzielne przez 4,
• 502, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 02, czyli 2, a 2 nie jest podzielne przez 4.

Podzielność przez 5

Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0 albo 5.

O podzielności przez 5 decyduje tylko cyfra jedności.

Przykłady liczb podzielnych przez 5

• 10, ponieważ kończy się cyfrą 0,
• 25, ponieważ kończy się cyfrą 5,
• 140, ponieważ kończy się cyfrą 0,
• 375, ponieważ kończy się cyfrą 5.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 5

• 12, ponieważ kończy się cyfrą 2,
• 43, ponieważ kończy się cyfrą 3,
• 128, ponieważ kończy się cyfrą 8.

Zestawienie cech podzielności przez 2, 3, 4 i 5

Liczba	Cecha podzielności
2	Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 albo 8.
3	Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
4	Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4.
5	Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0 albo 5.

Liczby podzielne przez kilka liczb jednocześnie

Jedna liczba może być podzielna przez kilka różnych liczb jednocześnie. Aby to sprawdzić, trzeba zastosować odpowiednie cechy podzielności.

Przykładowo liczba 120 jest podzielna przez:

• 2, ponieważ kończy się cyfrą 0,
• 3, ponieważ 1+2+0=3, a 3 jest podzielne przez 3,
• 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 20, a 20 jest podzielne przez 4,
• 5, ponieważ kończy się cyfrą 0.

Najczęstsze błędy

• sprawdzanie tylko ostatniej cyfry przy podzielności przez 3,
• sprawdzanie całej liczby zamiast dwóch ostatnich cyfr przy podzielności przez 4,
• uznawanie liczby kończącej się cyfrą 5 za podzielną przez 2,
• mylenie podzielności przez 4 z podzielnością przez 2,
• zapominanie, że liczba zakończona cyfrą 0 jest podzielna przez 2 i przez 5,
• błędne sumowanie cyfr przy sprawdzaniu podzielności przez 3.

Najważniejsze zasady

• Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta.
• Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
• Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4.
• Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0 albo 5.
• Cechy podzielności pozwalają sprawdzać podzielność bez wykonywania pełnego dzielenia.
• Jedna liczba może spełniać kilka cech podzielności jednocześnie.