Potęgowanie to działanie matematyczne, które oznacza wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie. Liczbę, którą potęgujemy, nazywamy podstawą potęgi, a liczbę zapisaną u góry nazywamy wykładnikiem potęgi.
Wzory dotyczące potęgowania pozwalają szybciej przekształcać wyrażenia z potęgami. Na poziomie szkoły podstawowej najważniejsze są zasady mnożenia, dzielenia i potęgowania potęg o tej samej podstawie.
Budowa potęgi
Potęgę zapisujemy w postaci:
a^ngdzie:
- a — podstawa potęgi,
- n — wykładnik potęgi.
Jeżeli n jest liczbą naturalną dodatnią, to potęga oznacza iloczyn n takich samych czynników.
a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \ \text{czynników}}Potęga o wykładniku drugim
Potęga o wykładniku 2 oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie.
a^2 = a \cdot aPotęgę o wykładniku 2 nazywa się często kwadratem liczby.
Potęga o wykładniku trzecim
Potęga o wykładniku 3 oznacza pomnożenie trzech takich samych czynników.
a^3 = a \cdot a \cdot aPotęgę o wykładniku 3 nazywa się często sześcianem liczby.
Potęga o wykładniku pierwszym
Każda liczba podniesiona do potęgi pierwszej jest równa samej sobie.
a^1 = aPotęga o wykładniku zerowym
Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1.
a^0 = 1gdzie:
- a \neq 0.
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, a podstawę zostawiamy bez zmian.
a^m \cdot a^n = a^{m+n}gdzie:
- a — wspólna podstawa potęg,
- m i n — wykładniki potęg.
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki, a podstawę zostawiamy bez zmian.
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}gdzie:
- a — wspólna podstawa potęg,
- m i n — wykładniki potęg,
- a \neq 0.
Potęgowanie potęgi
Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.
\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}gdzie:
- a — podstawa potęgi,
- m i n — wykładniki potęg.
Potęga iloczynu
Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg wszystkich czynników.
\left(a \cdot b\right)^n = a^n \cdot b^ngdzie:
- a i b — czynniki iloczynu,
- n — wykładnik potęgi.
Potęga ilorazu
Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg licznika i mianownika.
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}gdzie:
- a — licznik,
- b — mianownik,
- n — wykładnik potęgi,
- b \neq 0.
Potęga liczby ujemnej
Przy potęgowaniu liczby ujemnej ważne jest, czy wykładnik jest parzysty czy nieparzysty.
Jeżeli wykładnik jest parzysty, wynik jest dodatni:
\left(-a\right)^{2n} > 0Jeżeli wykładnik jest nieparzysty, wynik jest ujemny:
\left(-a\right)^{2n+1} < 0gdzie:
- a > 0,
- n — liczba naturalna.
Znaczenie nawiasów przy potęgowaniu
Nawiasy mają duże znaczenie przy potęgowaniu liczb ujemnych. Inny wynik może dawać potęga liczby ujemnej w nawiasie, a inny zapis bez nawiasu.
Zapis:
\left(-a\right)^noznacza potęgowanie całej liczby ujemnej.
Zapis:
-a^noznacza, że najpierw wykonuje się potęgowanie liczby a, a dopiero potem dopisuje znak minus.
Najważniejsze zasady
- Potęgowanie oznacza wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie.
- W zapisie a^n liczba a jest podstawą, a liczba n jest wykładnikiem.
- Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
- Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.
- Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.
- Potęga iloczynu rozdziela się na każdy czynnik.
- Potęga ilorazu rozdziela się na licznik i mianownik.
- Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1.
- Nawiasy mają znaczenie przy potęgowaniu liczb ujemnych.
