Najmniejsza wspólna wielokrotność — definicja

Najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza liczba dodatnia, która jest wielokrotnością dwóch lub większej liczby liczb naturalnych. W skrócie zapisuje się ją jako \operatorname{NWW}.

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest szczególnie przydatna przy działaniach na ułamkach zwykłych, ponieważ pomaga znaleźć wspólny mianownik.

Co to jest wielokrotność liczby?

Wielokrotność liczby to wynik pomnożenia tej liczby przez kolejne liczby naturalne.

Dla liczby a jej wielokrotności można zapisać jako:

a, \ 2a, \ 3a, \ 4a, \ 5a, \ldots

gdzie:

• a — dana liczba naturalna,
• 2a, 3a, 4a — kolejne wielokrotności liczby a.

Definicja najmniejszej wspólnej wielokrotności

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb a i b to najmniejsza liczba dodatnia, która jest jednocześnie wielokrotnością liczby a oraz liczby b.

Zapis symboliczny:

\operatorname{NWW}(a,b)

gdzie:

• a i b — liczby naturalne,
• \operatorname{NWW}(a,b) — najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b.

Sposób 1: wypisywanie wielokrotności

Najprostszy sposób wyznaczania NWW polega na wypisaniu kolejnych wielokrotności danych liczb i znalezieniu najmniejszej liczby, która pojawia się w obu zapisach.

Dla liczb a i b zapisujemy:

a, \ 2a, \ 3a, \ 4a, \ldots

oraz:

b, \ 2b, \ 3b, \ 4b, \ldots

Najmniejsza liczba, która wystąpi w obu ciągach wielokrotności, jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Ten sposób jest wygodny przy małych liczbach.

NWW więcej niż dwóch liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność można wyznaczać także dla więcej niż dwóch liczb.

Dla trzech liczb zapisujemy:

\operatorname{NWW}(a,b,c)

Można ją obliczyć etapami:

\operatorname{NWW}(a,b,c)=\operatorname{NWW}(\operatorname{NWW}(a,b),c)

Oznacza to, że najpierw można wyznaczyć NWW dwóch pierwszych liczb, a następnie obliczyć NWW otrzymanego wyniku i kolejnej liczby.

Zastosowanie NWW przy ułamkach

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest często wykorzystywana przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków zwykłych.

Jeżeli ułamki mają mianowniki b i d, to najmniejszy wspólny mianownik można zapisać jako:

m = \operatorname{NWW}(b,d)

Dzięki temu ułamki można sprowadzić do wspólnego mianownika m.

Dla dodawania ułamków:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \frac{m}{b} + c \cdot \frac{m}{d}}{m}

Dla odejmowania ułamków:

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot \frac{m}{b} - c \cdot \frac{m}{d}}{m}

Najważniejsze zasady

• Najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza dodatnia liczba wspólna dla wielokrotności danych liczb.
• Skrót \operatorname{NWW} oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność.
• NWW można wyznaczać przez wypisywanie wielokrotności.
• NWW można wyznaczać przez rozkład na czynniki pierwsze.
• Dla dwóch liczb dodatnich można użyć wzoru z \operatorname{NWD}.
• Przy ułamkach NWW pomaga znaleźć najmniejszy wspólny mianownik.

Podsumowanie

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest najmniejszą dodatnią liczbą, która jest wielokrotnością wszystkich rozważanych liczb. W praktyce najczęściej wykorzystuje się ją do znajdowania wspólnego mianownika przy działaniach na ułamkach zwykłych.