Liczby rzeczywiste — definicja, przykłady i zbiory liczb

Liczby rzeczywiste to zbiór liczb, który obejmuje zarówno liczby wymierne, jak i liczby niewymierne. Oznacza to, że do liczb rzeczywistych należą liczby naturalne, całkowite, ułamki, liczby dziesiętne, pierwiastki niewymierne oraz inne liczby, które można zaznaczyć na osi liczbowej.

Na poziomie szkoły podstawowej liczby rzeczywiste można rozumieć jako wszystkie liczby poznawane w podstawowej matematyce, które mają swoje miejsce na osi liczbowej.

Czym są liczby rzeczywiste?

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby wymierne i niewymierne razem.

Zbiór liczb rzeczywistych oznacza się symbolem:

\mathbb{R}

Można zapisać, że liczby rzeczywiste składają się z liczb wymiernych i niewymiernych:

\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \left(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\right)

gdzie:

• \mathbb{R} — zbiór liczb rzeczywistych,
• \mathbb{Q} — zbiór liczb wymiernych,
• \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} — zbiór liczb niewymiernych,
• \cup — suma zbiorów.

Przykłady liczb rzeczywistych

Do liczb rzeczywistych należą między innymi:

• 0,
• 1,
• -5,
• \frac{3}{4},
• -2{,}6,
• 0{,}(3),
• \sqrt{2},
• \sqrt{5},
• \pi.

Każda z tych liczb może zostać zaznaczona jako punkt na osi liczbowej.

Liczby wymierne jako część liczb rzeczywistych

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego:

\frac{a}{b}

gdzie:

• a i b — liczby całkowite,
• b \neq 0.

Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem:

\mathbb{Q}

Każda liczba wymierna jest liczbą rzeczywistą, dlatego można zapisać:

\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Do liczb wymiernych należą między innymi liczby całkowite, ułamki zwykłe, liczby mieszane, liczby dziesiętne skończone oraz liczby dziesiętne okresowe.

Liczby niewymierne jako część liczb rzeczywistych

Liczby niewymierne to liczby, których nie można zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych.

Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Przykłady liczb niewymiernych:

• \sqrt{2},
• \sqrt{3},
• \sqrt{7},
• \pi.

Liczby niewymierne również należą do zbioru liczb rzeczywistych, ponieważ można je zaznaczyć na osi liczbowej.

Zależności między zbiorami liczb

Zbiory liczb są ze sobą powiązane. Każdy kolejny zbiór rozszerza wcześniejszy zakres liczb.

Podstawową zależność można zapisać tak:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

gdzie:

• \mathbb{N} — liczby naturalne,
• \mathbb{Z} — liczby całkowite,
• \mathbb{Q} — liczby wymierne,
• \mathbb{R} — liczby rzeczywiste.

Oznacza to, że każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą, każda liczba całkowita jest liczbą wymierną, a każda liczba wymierna jest liczbą rzeczywistą.

Liczby naturalne w zbiorze liczb rzeczywistych

Liczby naturalne to liczby używane do liczenia.

Najczęściej zapisuje się je jako:

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}

Liczby naturalne należą do liczb rzeczywistych, ponieważ każdą z nich można zaznaczyć na osi liczbowej.

Przykłady liczb naturalnych:

• 0,
• 1,
• 2,
• 15,
• 100.

Liczby całkowite w zbiorze liczb rzeczywistych

Liczby całkowite obejmują liczby naturalne, liczby przeciwne do naturalnych oraz zero.

Zbiór liczb całkowitych zapisuje się jako:

\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}

Liczby całkowite są częścią liczb rzeczywistych.

Przykłady liczb całkowitych:

• -8,
• -1,
• 0,
• 6,
• 24.

Liczby rzeczywiste na osi liczbowej

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Oznacza to, że liczby rzeczywiste można uporządkować od najmniejszej do największej.

Na osi liczbowej:

• liczby większe znajdują się bardziej na prawo,
• liczby mniejsze znajdują się bardziej na lewo,
• liczba 0 oddziela liczby dodatnie od liczb ujemnych.

Przykładowy porządek liczb rzeczywistych:

-3 < -1{,}5 < 0 < \frac{1}{2} < \sqrt{2} < 2

Liczby dodatnie, ujemne i zero

Wśród liczb rzeczywistych można wyróżnić liczby dodatnie, liczby ujemne oraz zero.

• Liczby dodatnie są większe od zera.
• Liczby ujemne są mniejsze od zera.
• Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Zapis symboliczny:

a > 0 \quad \text{liczba dodatnia} a < 0 \quad \text{liczba ujemna} a = 0 \quad \text{zero}

Porównywanie liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste można porównywać za pomocą znaków większości, mniejszości i równości.

• > — większe niż,
• < — mniejsze niż,
• = — równe.

Porównując liczby rzeczywiste, można korzystać z osi liczbowej. Liczba położona bardziej na prawo jest większa, a liczba położona bardziej na lewo jest mniejsza.

Przykłady:

3 > -2 -5 < -1 \frac{1}{2} < \sqrt{2}

Rozwinięcia dziesiętne liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste można zapisywać w postaci rozwinięć dziesiętnych.

Liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe.

Przykłady:

• \frac{1}{2}=0{,}5,
• \frac{1}{3}=0{,}(3),
• \frac{7}{4}=1{,}75.

Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

Przykłady:

• \sqrt{2}\approx 1{,}41421356\ldots,
• \pi\approx 3{,}14159265\ldots.

Przedziały liczbowe

Liczby rzeczywiste często zapisuje się za pomocą przedziałów liczbowych. Przedział oznacza fragment osi liczbowej.

Przykładowy przedział:

(2,5)

oznacza wszystkie liczby rzeczywiste większe od 2 i mniejsze od 5.

Można to zapisać symbolicznie:

2 < x < 5

Przedziały są używane do opisywania zbiorów liczb rzeczywistych spełniających określone warunki.

Działania na liczbach rzeczywistych

Na liczbach rzeczywistych można wykonywać podstawowe działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez liczbę różną od zera.

Dla liczb rzeczywistych a i b wyniki działań:

• a+b,
• a-b,
• a \cdot b

są liczbami rzeczywistymi.

Dzielenie:

\frac{a}{b}

jest określone wtedy, gdy:

b \neq 0

Najczęstsze błędy

• uznawanie liczb rzeczywistych tylko za liczby całkowite,
• pomijanie liczb niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych,
• mylenie liczb wymiernych z niewymiernymi,
• uznawanie każdej liczby z przecinkiem za liczbę niewymierną,
• traktowanie zera jako liczby dodatniej lub ujemnej,
• dzielenie przez zero,
• błędne porównywanie liczb ujemnych na osi liczbowej.

Najważniejsze zasady

• Zbiór liczb rzeczywistych oznacza się symbolem \mathbb{R}.
• Liczby rzeczywiste obejmują liczby wymierne i niewymierne.
• Każda liczba naturalna, całkowita i wymierna jest liczbą rzeczywistą.
• Liczby niewymierne również należą do zbioru liczb rzeczywistych.
• Każdą liczbę rzeczywistą można zaznaczyć na osi liczbowej.
• Liczby rzeczywiste można porównywać i porządkować.
• Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna.
• Nie wolno dzielić przez 0.
• Podstawowa zależność między zbiorami liczb to \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.