Podzielność liczb przez 6, 8, 9 i 10 — cechy podzielności

Podzielność liczb oznacza możliwość podzielenia jednej liczby przez drugą bez reszty. Jeżeli liczba dzieli się przez daną liczbę bez reszty, to mówimy, że jest przez nią podzielna.

Cechy podzielności pozwalają szybko sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez określoną liczbę, bez wykonywania pełnego dzielenia pisemnego. W tym materiale omówione są cechy podzielności przez 6, 8, 9 i 10.

Co oznacza podzielność liczby?

Liczba a jest podzielna przez liczbę b, jeżeli po podzieleniu a przez b otrzymujemy wynik całkowity i resztę równą 0.

Można to zapisać symbolicznie:

a:b=c

gdzie:

• a — liczba dzielona,
• b — dzielnik,
• c — wynik dzielenia,
• a, b i c są liczbami całkowitymi,
• b \neq 0.

Ten sam warunek można zapisać także w postaci iloczynu:

a=b \cdot c

Oznacza to, że liczba a jest wielokrotnością liczby b.

Cechy podzielności

Cechy podzielności to zasady, które pozwalają rozpoznać podzielność liczby na podstawie jej zapisu dziesiętnego.

Dzięki nim można sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 6, 8, 9 albo 10, bez wykonywania pełnego dzielenia.

Podzielność przez 6

Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest jednocześnie podzielna przez 2 i przez 3.

Oznacza to, że trzeba sprawdzić dwa warunki:

• ostatnia cyfra liczby jest parzysta, czyli liczba jest podzielna przez 2,
• suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3.

Można to zapisać symbolicznie:

6=2\cdot 3

Dlatego liczba podzielna przez 6 musi spełniać jednocześnie cechę podzielności przez 2 oraz cechę podzielności przez 3.

Przykłady liczb podzielnych przez 6

• 24, ponieważ kończy się cyfrą parzystą i 2+4=6, a 6 jest podzielne przez 3,
• 48, ponieważ kończy się cyfrą parzystą i 4+8=12, a 12 jest podzielne przez 3,
• 126, ponieważ kończy się cyfrą parzystą i 1+2+6=9, a 9 jest podzielne przez 3.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 6

• 21 nie jest podzielne przez 6, ponieważ nie jest podzielne przez 2,
• 28 nie jest podzielne przez 6, ponieważ suma cyfr 2+8=10 nie jest podzielna przez 3,
• 45 nie jest podzielne przez 6, ponieważ nie jest podzielne przez 2.

Podzielność przez 8

Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli liczba utworzona z jej trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8.

O podzielności przez 8 decydują więc trzy ostatnie cyfry liczby.

Jeżeli liczba ma mniej niż trzy cyfry, sprawdza się bezpośrednio, czy cała liczba jest podzielna przez 8.

Przykłady liczb podzielnych przez 8

• 120, ponieważ liczba 120 jest podzielna przez 8,
• 312, ponieważ liczba 312 jest podzielna przez 8,
• 1240, ponieważ trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę 240, a 240 jest podzielne przez 8,
• 5600, ponieważ trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę 600, a 600 jest podzielne przez 8.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 8

• 122 nie jest podzielne przez 8, ponieważ 122 nie dzieli się przez 8 bez reszty,
• 314 nie jest podzielne przez 8, ponieważ 314 nie jest podzielne przez 8,
• 1250 nie jest podzielne przez 8, ponieważ trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę 250, a 250 nie jest podzielne przez 8.

Podzielność przez 9

Liczba jest podzielna przez 9, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Przy sprawdzaniu podzielności przez 9 należy dodać wszystkie cyfry liczby i sprawdzić, czy otrzymana suma dzieli się przez 9.

Ogólny schemat można zapisać tak:

\text{suma cyfr liczby jest podzielna przez } 9

Przykłady liczb podzielnych przez 9

• 81, ponieważ 8+1=9, a 9 jest podzielne przez 9,
• 234, ponieważ 2+3+4=9, a 9 jest podzielne przez 9,
• 729, ponieważ 7+2+9=18, a 18 jest podzielne przez 9.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 9

• 82, ponieważ 8+2=10, a 10 nie jest podzielne przez 9,
• 235, ponieważ 2+3+5=10, a 10 nie jest podzielne przez 9,
• 730, ponieważ 7+3+0=10, a 10 nie jest podzielne przez 9.

Podzielność przez 10

Liczba jest podzielna przez 10, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0.

O podzielności przez 10 decyduje tylko cyfra jedności.

Przykłady liczb podzielnych przez 10

• 10, ponieważ kończy się cyfrą 0,
• 50, ponieważ kończy się cyfrą 0,
• 230, ponieważ kończy się cyfrą 0,
• 1000, ponieważ kończy się cyfrą 0.

Przykłady liczb niepodzielnych przez 10

• 12, ponieważ nie kończy się cyfrą 0,
• 45, ponieważ nie kończy się cyfrą 0,
• 128, ponieważ nie kończy się cyfrą 0.

Zestawienie cech podzielności przez 6, 8, 9 i 10

Liczba	Cecha podzielności
6	Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest jednocześnie podzielna przez 2 i przez 3.
8	Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8.
9	Liczba jest podzielna przez 9, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
10	Liczba jest podzielna przez 10, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0.

Liczby podzielne przez kilka liczb jednocześnie

Jedna liczba może być podzielna przez kilka różnych liczb jednocześnie. Aby to sprawdzić, należy zastosować odpowiednie cechy podzielności.

Przykładowo liczba 720 jest podzielna przez:

• 6, ponieważ jest podzielna przez 2 i przez 3,
• 8, ponieważ trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę 720, a 720 jest podzielne przez 8,
• 9, ponieważ 7+2+0=9, a 9 jest podzielne przez 9,
• 10, ponieważ kończy się cyfrą 0.

Powiązanie z wcześniejszymi cechami podzielności

Niektóre cechy podzielności wynikają z wcześniejszych zasad. Na przykład podzielność przez 6 wymaga jednoczesnej podzielności przez 2 i 3.

Cechy podzielności przez 8 i 10 są związane z końcówką liczby, natomiast cecha podzielności przez 9 jest związana z sumą cyfr.

Najczęstsze błędy

• sprawdzanie tylko podzielności przez 2 przy podzielności przez 6,
• sprawdzanie tylko podzielności przez 3 przy podzielności przez 6,
• mylenie cechy podzielności przez 8 z cechą podzielności przez 4,
• sprawdzanie tylko ostatniej cyfry przy podzielności przez 8,
• mylenie cechy podzielności przez 9 z cechą podzielności przez 3,
• uznawanie liczby kończącej się cyfrą 5 za podzielną przez 10,
• błędne sumowanie cyfr przy podzielności przez 9.

Najważniejsze zasady

• Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest jednocześnie podzielna przez 2 i przez 3.
• Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8.
• Liczba jest podzielna przez 9, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
• Liczba jest podzielna przez 10, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0.
• Cechy podzielności pozwalają sprawdzać podzielność bez wykonywania pełnego dzielenia.
• Jedna liczba może spełniać kilka cech podzielności jednocześnie.