Rozszerzanie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka nie zmienia się, ponieważ licznik i mianownik są zmieniane w taki sam sposób.
Rozszerzanie ułamków pozwala zapisać ten sam ułamek w innej postaci. Jest to szczególnie przydatne wtedy, gdy trzeba sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.
Budowa ułamka zwykłego
Ułamek zwykły zapisujemy w postaci:
\frac{a}{b}gdzie:
- a — licznik,
- b — mianownik,
- b \neq 0.
Licznik informuje, ile części bierzemy pod uwagę. Mianownik informuje, na ile równych części została podzielona całość.
Na czym polega rozszerzanie ułamka?
Ułamek rozszerzamy przez pomnożenie jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę.
Jeżeli ułamek:
\frac{a}{b}rozszerzamy przez liczbę k, to otrzymujemy:
\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}gdzie:
- a — licznik początkowego ułamka,
- b — mianownik początkowego ułamka,
- k — liczba, przez którą rozszerzamy ułamek,
- b \neq 0,
- k \neq 0.
Liczba k nazywana jest czynnikiem rozszerzającym.
Dlaczego wartość ułamka się nie zmienia?
Wartość ułamka nie zmienia się, ponieważ licznik i mianownik mnożymy przez tę samą liczbę. Oznacza to, że cały ułamek zostaje pomnożony przez liczbę równą 1.
Można to zapisać tak:
\frac{a}{b} \cdot \frac{k}{k} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}ponieważ:
\frac{k}{k} = 1dla k \neq 0.
Dlatego ułamki:
\frac{a}{b}oraz:
\frac{a \cdot k}{b \cdot k}są ułamkami równoważnymi.
Ułamki równoważne
Ułamki równoważne to ułamki, które mają taką samą wartość, mimo że mogą mieć różne liczniki i mianowniki.
Jeżeli:
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}to ułamki \frac{a}{b} oraz \frac{c}{d} są równoważne.
Rozszerzanie ułamków jest jednym ze sposobów otrzymywania ułamków równoważnych.
Czynnik rozszerzający
Czynnik rozszerzający to liczba, przez którą mnożymy licznik i mianownik ułamka.
Dla rozszerzenia:
\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}czynnikiem rozszerzającym jest liczba k.
Czynnik rozszerzający nie może być równy 0, ponieważ mnożenie mianownika przez 0 dałoby mianownik równy 0, a taki ułamek nie jest określony.
Rozszerzanie do wskazanego mianownika
Czasami trzeba rozszerzyć ułamek tak, aby otrzymać określony mianownik.
Jeżeli ułamek:
\frac{a}{b}ma zostać zapisany z mianownikiem m, to należy znaleźć taką liczbę k, że:
b \cdot k = mwtedy:
k = \frac{m}{b}oraz:
\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{m}gdzie:
- m — nowy mianownik,
- k — czynnik rozszerzający,
- m musi być wielokrotnością liczby b.
Najważniejsze zasady
- Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę.
- Czynnik rozszerzający nie może być równy 0.
- Rozszerzanie nie zmienia wartości ułamka.
- Rozszerzanie pozwala otrzymać ułamki równoważne.
- Rozszerzając ułamek do danego mianownika, trzeba sprawdzić, czy nowy mianownik jest wielokrotnością starego mianownika.
- Mianownik ułamka nie może być równy 0.
