Rozszerzanie ułamków zwykłych — definicja i zasady

Rozszerzanie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka nie zmienia się, ponieważ licznik i mianownik są zmieniane w taki sam sposób.

Rozszerzanie ułamków pozwala zapisać ten sam ułamek w innej postaci. Jest to szczególnie przydatne wtedy, gdy trzeba sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Budowa ułamka zwykłego

Ułamek zwykły zapisujemy w postaci:

\frac{a}{b}

gdzie:

• a — licznik,
• b — mianownik,
• b \neq 0.

Licznik informuje, ile części bierzemy pod uwagę. Mianownik informuje, na ile równych części została podzielona całość.

Na czym polega rozszerzanie ułamka?

Ułamek rozszerzamy przez pomnożenie jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę.

Jeżeli ułamek:

\frac{a}{b}

rozszerzamy przez liczbę k, to otrzymujemy:

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

gdzie:

• a — licznik początkowego ułamka,
• b — mianownik początkowego ułamka,
• k — liczba, przez którą rozszerzamy ułamek,
• b \neq 0,
• k \neq 0.

Liczba k nazywana jest czynnikiem rozszerzającym.

Dlaczego wartość ułamka się nie zmienia?

Wartość ułamka nie zmienia się, ponieważ licznik i mianownik mnożymy przez tę samą liczbę. Oznacza to, że cały ułamek zostaje pomnożony przez liczbę równą 1.

Można to zapisać tak:

\frac{a}{b} \cdot \frac{k}{k} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

ponieważ:

\frac{k}{k} = 1

dla k \neq 0.

Dlatego ułamki:

\frac{a}{b}

oraz:

\frac{a \cdot k}{b \cdot k}

są ułamkami równoważnymi.

Ułamki równoważne

Ułamki równoważne to ułamki, które mają taką samą wartość, mimo że mogą mieć różne liczniki i mianowniki.

Jeżeli:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

to ułamki \frac{a}{b} oraz \frac{c}{d} są równoważne.

Rozszerzanie ułamków jest jednym ze sposobów otrzymywania ułamków równoważnych.

Czynnik rozszerzający

Czynnik rozszerzający to liczba, przez którą mnożymy licznik i mianownik ułamka.

Dla rozszerzenia:

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

czynnikiem rozszerzającym jest liczba k.

Czynnik rozszerzający nie może być równy 0, ponieważ mnożenie mianownika przez 0 dałoby mianownik równy 0, a taki ułamek nie jest określony.

Rozszerzanie do wskazanego mianownika

Czasami trzeba rozszerzyć ułamek tak, aby otrzymać określony mianownik.

Jeżeli ułamek:

\frac{a}{b}

ma zostać zapisany z mianownikiem m, to należy znaleźć taką liczbę k, że:

b \cdot k = m

wtedy:

k = \frac{m}{b}

oraz:

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{m}

gdzie:

• m — nowy mianownik,
• k — czynnik rozszerzający,
• m musi być wielokrotnością liczby b.

Najważniejsze zasady

• Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę.
• Czynnik rozszerzający nie może być równy 0.
• Rozszerzanie nie zmienia wartości ułamka.
• Rozszerzanie pozwala otrzymać ułamki równoważne.
• Rozszerzając ułamek do danego mianownika, trzeba sprawdzić, czy nowy mianownik jest wielokrotnością starego mianownika.
• Mianownik ułamka nie może być równy 0.