Dodawanie wyrażeń algebraicznych — wyrazy podobne i zasady

Dodawanie wyrażeń algebraicznych polega na łączeniu tych części wyrażenia, które są do siebie podobne. Takie części nazywamy wyrazami podobnymi.

W dodawaniu wyrażeń algebraicznych nie dodaje się wszystkich liter do wszystkich liter. Można dodawać tylko te wyrazy, które mają taką samą część literową.

Czym jest wyrażenie algebraiczne?

Wyrażenie algebraiczne to zapis zbudowany z liczb, liter, znaków działań oraz czasem nawiasów.

Przykład wyrażenia algebraicznego:

3x + 5

W tym wyrażeniu występują:

• 3x — wyraz z literą,
• 5 — wyraz liczbowy.

Litera x oznacza pewną liczbę, a zapis 3x oznacza 3 \cdot x.

Wyrazy podobne

Wyrazy podobne to wyrazy algebraiczne, które mają taką samą część literową.

Przykłady wyrazów podobnych:

• 2x i 5x,
• 3a i 7a,
• -4y i y,
• 6ab i -2ab.

W każdym z tych przykładów część literowa jest taka sama, dlatego wyrazy można dodać.

Wyrazy niepodobne

Wyrazy niepodobne mają różne części literowe. Takich wyrazów nie można połączyć w jeden wyraz algebraiczny.

Przykłady wyrazów niepodobnych:

• 2x i 2y,
• 3a i 3b,
• x i x^2,
• ab i a.

Wyrazy niepodobne pozostają w zapisie jako osobne składniki.

Na czym polega dodawanie wyrażeń algebraicznych?

Dodawanie wyrażeń algebraicznych polega na dodawaniu współczynników liczbowych przy wyrazach podobnych.

Ogólna zasada ma postać:

ax + bx = (a+b)x

gdzie:

• a i b — współczynniki liczbowe,
• x — część literowa,
• ax i bx — wyrazy podobne.

Litera pozostaje bez zmian, ponieważ dodawane są tylko współczynniki stojące przy tej samej części literowej.

Redukcja wyrazów podobnych

Redukcja wyrazów podobnych oznacza połączenie wyrazów podobnych w jeden wyraz.

Przykładowo wyrażenie:

2x + 5x

można zapisać jako:

7x

ponieważ:

2x + 5x = (2+5)x = 7x

Redukować można tylko wyrazy podobne.

Dodawanie kilku wyrazów podobnych

Jeżeli w wyrażeniu występuje kilka wyrazów podobnych, dodaje się wszystkie ich współczynniki liczbowe.

Ogólny zapis:

a x + b x + c x = (a+b+c)x

gdzie a, b i c są współczynnikami liczbowymi.

Ten sam sposób można stosować dla innych liter:

a y + b y = (a+b)y

oraz:

a z + b z = (a+b)z

Dodawanie wyrazów liczbowych

W wyrażeniach algebraicznych mogą występować także wyrazy liczbowe, czyli liczby bez liter. Takie wyrazy dodaje się do siebie tak jak zwykłe liczby.

Ogólna zasada:

a + b = a+b

Jeżeli w wyrażeniu występują wyrazy z literami i wyrazy liczbowe, każdy rodzaj łączy się osobno.

Przykładowy zapis ogólny:

ax + b + cx + d = (a+c)x + (b+d)

gdzie:

• ax i cx — wyrazy podobne z literą x,
• b i d — wyrazy liczbowe.

Dodawanie wyrażeń w nawiasach

Jeżeli dodajemy wyrażenia zapisane w nawiasach, można usunąć nawiasy, a następnie połączyć wyrazy podobne.

Przy dodawaniu nawiasów znaki wewnątrz nawiasu nie zmieniają się.

Ogólny zapis:

(ax+b)+(cx+d)=ax+b+cx+d

Po połączeniu wyrazów podobnych otrzymujemy:

(ax+b)+(cx+d)=(a+c)x+(b+d)

gdzie:

• ax i cx — wyrazy podobne,
• b i d — wyrazy liczbowe.

Dodawanie wyrażeń z różnymi literami

Jeżeli w wyrażeniu występują różne litery, łączy się tylko te wyrazy, które mają taką samą część literową.

Ogólny zapis:

ax + by + cx + dy = (a+c)x + (b+d)y

gdzie:

• ax i cx — wyrazy podobne z literą x,
• by i dy — wyrazy podobne z literą y.

Nie można połączyć wyrazów x i y, ponieważ mają różne części literowe.

Dodawanie wyrażeń z potęgami

Wyrazy z potęgami można dodawać tylko wtedy, gdy mają identyczną część literową wraz z tymi samymi wykładnikami.

Wyrazy podobne:

• 2x^2 i 5x^2,
• 3a^3 i -a^3.

Wyrazy niepodobne:

• 2x i 2x^2,
• 3a^2 i 3a.

Ogólna zasada:

a x^n + b x^n = (a+b)x^n

gdzie:

• x^n — taka sama część literowa,
• a i b — współczynniki liczbowe.

Najczęstsze błędy

• dodawanie wyrazów, które nie są podobne,
• dodawanie liter zamiast współczynników,
• zmienianie części literowej podczas dodawania,
• łączenie wyrazów z różnymi wykładnikami,
• zmienianie znaków po usunięciu nawiasu przy dodawaniu,
• pomijanie wyrazów liczbowych.

Najważniejsze zasady

• Dodawać można tylko wyrazy podobne.
• Wyrazy podobne mają taką samą część literową.
• Przy dodawaniu wyrazów podobnych dodaje się współczynniki liczbowe.
• Część literowa pozostaje bez zmian.
• Wyrazy niepodobne pozostają jako osobne składniki.
• Wyrazy liczbowe dodaje się osobno.
• Przy dodawaniu wyrażeń w nawiasach znaki w nawiasie nie zmieniają się.