Skracanie ułamków zwykłych — definicja i zasady

Skracanie ułamków zwykłych polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka nie zmienia się, ponieważ licznik i mianownik są zmieniane w taki sam sposób.

Skracanie ułamków pozwala zapisać ułamek w prostszej postaci. Najczęściej dąży się do tego, aby otrzymać ułamek nieskracalny, czyli taki, którego nie można już dalej skrócić.

Budowa ułamka zwykłego

Ułamek zwykły zapisujemy w postaci:

\frac{a}{b}

gdzie:

• a — licznik,
• b — mianownik,
• b \neq 0.

Licznik informuje, ile części bierzemy pod uwagę. Mianownik informuje, na ile równych części została podzielona całość.

Na czym polega skracanie ułamka?

Ułamek skracamy przez podzielenie jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę.

Jeżeli ułamek:

\frac{a}{b}

skracamy przez liczbę k, to otrzymujemy:

\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}

gdzie:

• a — licznik początkowego ułamka,
• b — mianownik początkowego ułamka,
• k — liczba, przez którą skracamy ułamek,
• b \neq 0,
• k \neq 0,
• k jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b.

Liczba k nazywana jest czynnikiem skracającym albo wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika.

Dlaczego wartość ułamka się nie zmienia?

Wartość ułamka nie zmienia się, ponieważ licznik i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę. Oznacza to, że cały ułamek zostaje podzielony przez liczbę równą 1.

Można to zapisać tak:

\frac{a}{b} : \frac{k}{k} = \frac{a : k}{b : k}

ponieważ:

\frac{k}{k} = 1

dla k \neq 0.

Dlatego ułamki:

\frac{a}{b}

oraz:

\frac{a : k}{b : k}

są ułamkami równoważnymi.

Warunek skracania ułamka

Ułamek można skrócić tylko wtedy, gdy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik większy od 1.

Jeżeli:

k \mid a

oraz:

k \mid b

to można podzielić licznik i mianownik przez k.

Symbol \mid oznacza „dzieli”. Zapis k \mid a oznacza, że liczba k dzieli liczbę a bez reszty.

Skracanie przez największy wspólny dzielnik

Najbardziej uporządkowany sposób skracania ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik.

Oznaczmy:

d = \operatorname{NWD}(a,b)

Jeżeli d > 1, to ułamek:

\frac{a}{b}

można skrócić do postaci:

\frac{a : d}{b : d}

gdzie:

• d — największy wspólny dzielnik licznika i mianownika,
• a — licznik,
• b — mianownik,
• b \neq 0.

Skrócenie ułamka przez największy wspólny dzielnik od razu prowadzi do postaci nieskracalnej.

Ułamek nieskracalny

Ułamek nieskracalny to taki ułamek, którego licznika i mianownika nie można już podzielić przez wspólną liczbę większą od 1.

Ułamek:

\frac{a}{b}

jest nieskracalny, jeżeli:

\operatorname{NWD}(a,b)=1

Oznacza to, że licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.

Skracanie stopniowe

Ułamek można skracać stopniowo, czyli dzielić licznik i mianownik przez kolejne wspólne dzielniki. Każde poprawne skrócenie zachowuje wartość ułamka.

Jeżeli kolejne czynniki skracające to k_1, k_2, k_3, to można zapisać:

\frac{a}{b} = \frac{a : k_1}{b : k_1} = \frac{a : (k_1 \cdot k_2)}{b : (k_1 \cdot k_2)} = \ldots

Proces kończy się wtedy, gdy licznik i mianownik nie mają już wspólnego dzielnika większego od 1.

Najważniejsze zasady

• Skracanie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę.
• Liczba, przez którą skracamy ułamek, musi być wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika.
• Czynnik skracający nie może być równy 0.
• Skracanie nie zmienia wartości ułamka.
• Ułamek można skrócić tylko wtedy, gdy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik większy od 1.
• Skrócenie przez \operatorname{NWD} od razu prowadzi do postaci nieskracalnej.
• Ułamek jest nieskracalny, jeżeli \operatorname{NWD}(a,b)=1.
• Mianownik ułamka nie może być równy 0.