Wyrażenia algebraiczne — wstęp teoretyczny

Wyrażenia algebraiczne to zapisy matematyczne, w których oprócz liczb występują także litery. Litery oznaczają liczby, których wartość może być znana, nieznana albo zmienna.

Algebra pozwala zapisywać zależności w sposób ogólny. Dzięki temu jeden zapis matematyczny może opisywać wiele różnych sytuacji liczbowych.

Czym jest wyrażenie algebraiczne?

Wyrażenie algebraiczne to zapis zbudowany z liczb, liter, znaków działań oraz czasem nawiasów.

Przykładami wyrażeń algebraicznych są:

• x + 5,
• 2a,
• 3x - 7,
• a + b,
• 2(x + 3).

W wyrażeniu algebraicznym litery zastępują liczby. Oznacza to, że zamiast wykonywać obliczenia tylko na konkretnych liczbach, można opisać ogólną zależność.

Litery w wyrażeniach algebraicznych

Litery w matematyce mogą oznaczać różne liczby. Najczęściej używa się liter takich jak x, y, a, b, m oraz n.

Litera może oznaczać:

• liczbę nieznaną,
• dowolną liczbę,
• wielkość, która może się zmieniać,
• wartość zależną od sytuacji opisanej w zadaniu.

Jeżeli w jednym wyrażeniu ta sama litera występuje kilka razy, oznacza zawsze tę samą liczbę.

Zmienna

Zmienna to litera, która może przyjmować różne wartości liczbowe. W wyrażeniach algebraicznych zmienna pozwala opisać sytuację bez podawania jednej konkretnej liczby.

Przykładowo w wyrażeniu:

x + 4

litera x jest zmienną.

Jeżeli x = 1, to wyrażenie ma wartość 5. Jeżeli x = 10, to wyrażenie ma wartość 14.

Stała

Stała to liczba, której wartość jest określona i nie zmienia się w danym wyrażeniu.

W wyrażeniu:

x + 4

liczba 4 jest stałą.

Stała nie zależy od wartości zmiennej. Zmienna może się zmieniać, ale liczba 4 pozostaje taka sama.

Współczynnik liczbowy

Współczynnik liczbowy to liczba stojąca przy literze. Oznacza, ile razy dana litera została wzięta.

W wyrażeniu:

3x

liczba 3 jest współczynnikiem liczbowym, a x jest zmienną.

Zapis 3x oznacza to samo co:

3 \cdot x

Znaku mnożenia między liczbą a literą zwykle się nie zapisuje.

Wyraz algebraiczny

Wyraz algebraiczny to pojedyncza część wyrażenia algebraicznego oddzielona znakami dodawania lub odejmowania.

W wyrażeniu:

3x + 5

występują dwa wyrazy:

• 3x,
• 5.

W wyrażeniu:

2a - b + 7

występują trzy wyrazy:

• 2a,
• -b,
• 7.

Wyrazy podobne

Wyrazy podobne to takie wyrazy algebraiczne, które mają tę samą część literową.

Przykładami wyrazów podobnych są:

• 2x i 5x,
• 3a i -a,
• 7xy i 2xy.

Wyrazy podobne można dodawać i odejmować, ponieważ dotyczą tej samej części literowej.

Przykładowo:

2x + 5x = 7x

Nie są wyrazami podobnymi na przykład 2x i 2y, ponieważ mają różne litery.

Wartość wyrażenia algebraicznego

Wartość wyrażenia algebraicznego otrzymujemy wtedy, gdy w miejsce liter podstawimy konkretne liczby i wykonamy działania.

Dla wyrażenia:

x + 5

jeżeli x = 3, to:

x + 5 = 3 + 5 = 8

Wartość wyrażenia zależy od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce zmiennej.

Zapisywanie mnożenia w algebrze

W algebrze często pomija się znak mnożenia między liczbą a literą oraz między literą a nawiasem.

Zamiast zapisu:

3 \cdot x

pisze się:

3x

Zamiast zapisu:

2 \cdot (x + 1)

pisze się:

2(x + 1)

Oba zapisy oznaczają mnożenie.

Nawiasy w wyrażeniach algebraicznych

Nawiasy wskazują, które działania należy traktować jako jedną całość. Są szczególnie ważne wtedy, gdy przed nawiasem stoi liczba lub znak minus.

W wyrażeniu:

2(x + 3)

liczba 2 mnoży całe wyrażenie w nawiasie.

Oznacza to:

2(x + 3)=2 \cdot x + 2 \cdot 3

Najważniejsze zasady

• Wyrażenie algebraiczne może zawierać liczby, litery, znaki działań i nawiasy.
• Litera w wyrażeniu algebraicznym oznacza liczbę.
• Ta sama litera w jednym wyrażeniu oznacza tę samą wartość.
• Zmienna może przyjmować różne wartości liczbowe.
• Stała ma określoną wartość liczbową.
• Współczynnik liczbowy to liczba stojąca przy literze.
• Wyrazy podobne mają taką samą część literową.
• Wartość wyrażenia otrzymuje się po podstawieniu liczb w miejsce liter.
• W algebrze często pomija się znak mnożenia między liczbą a literą.