Notacja wykładnicza — zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb

Notacja wykładnicza to sposób zapisywania bardzo dużych i bardzo małych liczb za pomocą potęg liczby 10. Dzięki niej długie zapisy liczbowe można przedstawić krócej i czytelniej.

Notację wykładniczą stosuje się między innymi w matematyce, fizyce, chemii, astronomii i informatyce. Jest szczególnie przydatna wtedy, gdy liczby mają wiele zer.

Czym jest notacja wykładnicza?

Notacja wykładnicza polega na zapisaniu liczby w postaci iloczynu liczby oraz potęgi liczby 10.

Ogólny zapis notacji wykładniczej ma postać:

a \cdot 10^n

gdzie:

• a — liczba większa lub równa 1 i mniejsza od 10,
• 10^n — potęga liczby 10,
• n — wykładnik potęgi, będący liczbą całkowitą.

Warunek dla liczby a można zapisać symbolicznie:

1 \leq a < 10

Potęgi liczby 10

Potęgi liczby 10 pozwalają zapisywać liczby z wieloma zerami w krótszej formie.

Dla dodatnich wykładników otrzymujemy liczby większe od 1:

• 10^1 = 10,
• 10^2 = 100,
• 10^3 = 1000,
• 10^4 = 10000.

Wykładnik informuje, ile zer występuje w potędze liczby 10, gdy wykładnik jest dodatni.

Notacja wykładnicza dla dużych liczb

Duże liczby zapisuje się w notacji wykładniczej z dodatnim wykładnikiem potęgi liczby 10.

Przykładowo liczba:

3000

może zostać zapisana jako:

3 \cdot 10^3

ponieważ:

10^3 = 1000

oraz:

3 \cdot 1000 = 3000

W przypadku dużych liczb przecinek przesuwa się w lewo tak, aby przed przecinkiem została jedna cyfra różna od zera.

Przesuwanie przecinka przy dużych liczbach

Aby zapisać dużą liczbę w notacji wykładniczej, należy przesunąć przecinek w lewo. Liczba przesunięć przecinka staje się dodatnim wykładnikiem potęgi liczby 10.

Przykładowo:

45000 = 4{,}5 \cdot 10^4

Przecinek został przesunięty o 4 miejsca w lewo, dlatego wykładnik potęgi wynosi 4.

Notacja wykładnicza dla małych liczb

Małe liczby dodatnie, mniejsze od 1, zapisuje się w notacji wykładniczej z ujemnym wykładnikiem potęgi liczby 10.

Przykładowo liczba:

0{,}003

może zostać zapisana jako:

3 \cdot 10^{-3}

ponieważ:

10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001

oraz:

3 \cdot 0{,}001 = 0{,}003

Przesuwanie przecinka przy małych liczbach

Aby zapisać małą liczbę dodatnią w notacji wykładniczej, należy przesunąć przecinek w prawo tak, aby otrzymać liczbę większą lub równą 1 i mniejszą od 10.

Liczba przesunięć przecinka staje się wartością wykładnika, ale wykładnik jest ujemny.

Przykładowo:

0{,}00072 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}

Przecinek został przesunięty o 4 miejsca w prawo, dlatego wykładnik potęgi wynosi -4.

Warunek poprawnego zapisu

W poprawnym zapisie notacji wykładniczej liczba stojąca przed potęgą liczby 10 musi być większa lub równa 1 i mniejsza od 10.

Poprawny zapis:

6{,}4 \cdot 10^5

Niepoprawny zapis w notacji wykładniczej:

64 \cdot 10^4

Drugi zapis ma tę samą wartość liczbową, ale nie jest poprawną notacją wykładniczą, ponieważ liczba 64 nie spełnia warunku 1 \leq a < 10.

Zamiana notacji wykładniczej na zapis dziesiętny

Aby zamienić liczbę z notacji wykładniczej na zwykły zapis dziesiętny, należy przesunąć przecinek zgodnie z wykładnikiem potęgi liczby 10.

Jeżeli wykładnik jest dodatni, przecinek przesuwa się w prawo:

2{,}7 \cdot 10^3 = 2700

Jeżeli wykładnik jest ujemny, przecinek przesuwa się w lewo:

2{,}7 \cdot 10^{-3} = 0{,}0027

Notacja wykładnicza a liczby ujemne

W notacji wykładniczej można zapisywać także liczby ujemne. Znak minus zapisuje się przed całą liczbą.

Przykładowo:

-5000 = -5 \cdot 10^3

oraz:

-0{,}004 = -4 \cdot 10^{-3}

Znak minus nie zmienia zasad przesuwania przecinka. Informuje jedynie, że liczba jest mniejsza od zera.

Zastosowanie notacji wykładniczej

Notację wykładniczą stosuje się tam, gdzie pojawiają się bardzo duże albo bardzo małe liczby. Dzięki temu zapis jest krótszy i łatwiejszy do odczytania.

Przykładowe zastosowania notacji wykładniczej:

• zapisywanie odległości w astronomii,
• zapisywanie mas bardzo małych cząstek,
• zapisywanie dużych liczb w naukach przyrodniczych,
• upraszczanie obliczeń z potęgami liczby 10,
• porównywanie bardzo dużych i bardzo małych wartości.

Zestawienie zasad przesuwania przecinka

Rodzaj liczby	Kierunek przesuwania przecinka przy zapisie w notacji wykładniczej	Wykładnik potęgi liczby 10
Liczba duża, większa od 10	W lewo	Dodatni
Liczba mała, większa od 0 i mniejsza od 1	W prawo	Ujemny

Najczęstsze błędy

• zapisanie liczby przed potęgą 10 spoza zakresu od 1 do mniej niż 10,
• mylenie znaku wykładnika przy małych liczbach,
• mylenie kierunku przesuwania przecinka,
• pomijanie znaku minus przy liczbach ujemnych,
• błędne liczenie miejsc, o które przesunięto przecinek,
• traktowanie zapisu równoważnego jako poprawnej notacji wykładniczej, mimo że liczba przed potęgą nie spełnia wymaganego warunku.

Najważniejsze zasady

• Notacja wykładnicza ma postać a \cdot 10^n.
• W poprawnym zapisie liczba a spełnia warunek 1 \leq a < 10.
• Wykładnik n jest liczbą całkowitą.
• Dla dużych liczb wykładnik potęgi 10 jest dodatni.
• Dla małych liczb dodatnich, mniejszych od 1, wykładnik potęgi 10 jest ujemny.
• Przy zamianie z notacji wykładniczej na zapis dziesiętny dodatni wykładnik przesuwa przecinek w prawo.
• Przy zamianie z notacji wykładniczej na zapis dziesiętny ujemny wykładnik przesuwa przecinek w lewo.
• Notacja wykładnicza ułatwia zapisywanie bardzo dużych i bardzo małych liczb.