Trygonometria — wstęp teoretyczny dla liceum

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się zależnościami między kątami i długościami odcinków. Początkowo trygonometrię poznaje się na podstawie trójkąta prostokątnego, ale w liceum temat zostaje rozszerzony o funkcje trygonometryczne, okrąg jednostkowy, miarę łukową kąta oraz tożsamości trygonometryczne.

Trygonometria jest ważna zarówno w matematyce, jak i w fizyce. Wykorzystuje się ją między innymi w geometrii, analizie funkcji, wektorach, ruchu po okręgu, falach, drganiach oraz opisie zjawisk okresowych.

Czym zajmuje się trygonometria?

Trygonometria opisuje związki między kątami a stosunkami długości boków trójkątów. Najważniejsze funkcje trygonometryczne to sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Funkcje te pozwalają powiązać miarę kąta z określonymi wartościami liczbowymi. Dzięki temu można obliczać brakujące długości boków, miary kątów oraz analizować zjawiska, które zmieniają się okresowo.

Kąt w trygonometrii

Kąt jest jedną z podstawowych wielkości w trygonometrii. W szkole najczęściej zapisuje się go w stopniach albo w radianach.

Miara stopniowa kąta jest znana z geometrii. Przykładowo:

• 30^\circ,
• 45^\circ,
• 60^\circ,
• 90^\circ.

W liceum pojawia się również miara łukowa kąta, czyli radiany. Radian jest naturalną jednostką kąta używaną szczególnie przy funkcjach trygonometrycznych i analizie matematycznej.

Stopnie i radiany

Pełny obrót ma miarę 360^\circ. W radianach pełny obrót ma miarę 2\pi.

Podstawowa zależność między stopniami i radianami ma postać:

360^\circ = 2\pi

Stąd wynika:

180^\circ = \pi

oraz:

90^\circ = \frac{\pi}{2}

Najczęściej używane kąty można zestawić następująco:

Miara stopniowa	Miara łukowa
0^\circ	0
30^\circ	\frac{\pi}{6}
45^\circ	\frac{\pi}{4}
60^\circ	\frac{\pi}{3}
90^\circ	\frac{\pi}{2}
180^\circ	\pi
360^\circ	2\pi

Trygonometria w trójkącie prostokątnym

Pierwsze definicje funkcji trygonometrycznych opierają się na trójkącie prostokątnym. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty, czyli kąt o mierze 90^\circ.

W takim trójkącie wyróżnia się:

• przeciwprostokątną — bok leżący naprzeciw kąta prostego,
• przyprostokątne — dwa boki tworzące kąt prosty,
• kąt ostry — kąt mniejszy niż 90^\circ.

Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym odnoszą się do wybranego kąta ostrego.

Sinus kąta ostrego

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}

Sinus pozwala powiązać kąt z bokiem leżącym naprzeciw tego kąta.

Cosinus kąta ostrego

Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}

Cosinus pozwala powiązać kąt z bokiem przylegającym do tego kąta.

Tangens kąta ostrego

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

\tg \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \alpha}{\text{przyprostokątna przy kącie } \alpha}

Tangens można również zapisać za pomocą sinusa i cosinusa:

\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Ten wzór obowiązuje wtedy, gdy \cos \alpha \neq 0.

Cotangens kąta ostrego

Cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta.

\ctg \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie } \alpha}{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \alpha}

Cotangens można również zapisać za pomocą cosinusa i sinusa:

\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Ten wzór obowiązuje wtedy, gdy \sin \alpha \neq 0.

Podstawowe funkcje trygonometryczne

Najważniejsze funkcje trygonometryczne to:

Funkcja	Zapis	Znaczenie w trójkącie prostokątnym
sinus	\sin \alpha	stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej
cosinus	\cos \alpha	stosunek przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej
tangens	\tg \alpha	stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie
cotangens	\ctg \alpha	stosunek przyprostokątnej przy kącie do przyprostokątnej naprzeciw kąta

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych

W liceum bardzo ważna jest znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30^\circ, 45^\circ i 60^\circ.

Kąt	\sin \alpha	\cos \alpha	\tg \alpha	\ctg \alpha
30^\circ	\frac{1}{2}	\frac{\sqrt{3}}{2}	\frac{\sqrt{3}}{3}	\sqrt{3}
45^\circ	\frac{\sqrt{2}}{2}	\frac{\sqrt{2}}{2}	1	1
60^\circ	\frac{\sqrt{3}}{2}	\frac{1}{2}	\sqrt{3}	\frac{\sqrt{3}}{3}

Podstawowa jedynka trygonometryczna

Jedną z najważniejszych tożsamości trygonometrycznych jest podstawowa jedynka trygonometryczna.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Oznacza ona, że suma kwadratu sinusa i kwadratu cosinusa tego samego kąta jest równa 1.

Tożsamość ta wynika z twierdzenia Pitagorasa i jest używana do przekształcania wyrażeń trygonometrycznych oraz obliczania jednej funkcji, gdy znana jest druga.

Zależności między tangensem, cotangensem, sinusem i cosinusem

Tangens i cotangens można wyrazić za pomocą sinusa i cosinusa.

\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

gdzie \cos \alpha \neq 0.

\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

gdzie \sin \alpha \neq 0.

Z tych zależności wynika również:

\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1

dla kątów, dla których obie funkcje są określone.

Okrąg jednostkowy

W liceum funkcje trygonometryczne rozszerza się za pomocą okręgu jednostkowego. Okrąg jednostkowy to okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 1.

Równanie okręgu jednostkowego ma postać:

x^2+y^2=1

Jeżeli punkt P leży na okręgu jednostkowym i odpowiada kątowi \alpha, to jego współrzędne można zapisać jako:

P=(\cos \alpha,\sin \alpha)

Oznacza to, że cosinus kąta odpowiada współrzędnej x, a sinus kąta odpowiada współrzędnej y.

Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach układu

Na okręgu jednostkowym można określać znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.

Ćwiartka	Zakres kąta	\sin \alpha	\cos \alpha	\tg \alpha
I	0^\circ < \alpha < 90^\circ	dodatni	dodatni	dodatni
II	90^\circ < \alpha < 180^\circ	dodatni	ujemny	ujemny
III	180^\circ < \alpha < 270^\circ	ujemny	ujemny	dodatni
IV	270^\circ < \alpha < 360^\circ	ujemny	dodatni	ujemny

Znaki funkcji wynikają ze znaków współrzędnych punktu na okręgu jednostkowym.

Funkcje trygonometryczne jako funkcje okresowe

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Oznacza to, że ich wartości powtarzają się po określonym przedziale.

Dla sinusa i cosinusa okresem podstawowym jest 360^\circ, czyli 2\pi.

\sin(\alpha+360^\circ)=\sin \alpha \cos(\alpha+360^\circ)=\cos \alpha

Dla tangensa okresem podstawowym jest 180^\circ, czyli \pi.

\tg(\alpha+180^\circ)=\tg \alpha

Trygonometria w matematyce

W matematyce trygonometria jest wykorzystywana między innymi do obliczania długości boków i miar kątów w trójkątach, badania funkcji, rozwiązywania równań trygonometrycznych oraz opisu zjawisk okresowych.

Trygonometria łączy geometrię, algebrę i analizę funkcji. Dzięki temu jest jednym z ważniejszych tematów na poziomie liceum.

Trygonometria w fizyce

W fizyce trygonometria pojawia się szczególnie tam, gdzie występują kierunki, kąty i składowe wektorów.

Przykładowe zastosowania trygonometrii w fizyce:

• rozkład siły na składowe,
• ruch po okręgu,
• ruch harmoniczny,
• fale mechaniczne i elektromagnetyczne,
• optyka geometryczna,
• rzut ukośny,
• analiza drgań.

Funkcje sinus i cosinus są szczególnie ważne przy opisie wielkości zmieniających się okresowo.

Najczęstsze błędy

• mylenie sinusa z cosinusem w trójkącie prostokątnym,
• mylenie przyprostokątnej naprzeciw kąta z przyprostokątną przy kącie,
• stosowanie definicji z trójkąta prostokątnego do kątów, dla których potrzebny jest okrąg jednostkowy,
• zapominanie o warunkach \cos \alpha \neq 0 przy tangensie i \sin \alpha \neq 0 przy cotangensie,
• mylenie stopni i radianów,
• błędne znaki funkcji w poszczególnych ćwiartkach,
• traktowanie wzorów trygonometrycznych jako niezależnych reguł bez rozumienia ich związku z geometrią.

Najważniejsze zasady

• Trygonometria opisuje zależności między kątami i długościami odcinków.
• Podstawowe funkcje trygonometryczne to sinus, cosinus, tangens i cotangens.
• W trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne są stosunkami długości boków.
• Sinus odnosi się do przyprostokątnej naprzeciw kąta i przeciwprostokątnej.
• Cosinus odnosi się do przyprostokątnej przy kącie i przeciwprostokątnej.
• Tangens można zapisać jako \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, gdy \cos \alpha \neq 0.
• Cotangens można zapisać jako \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, gdy \sin \alpha \neq 0.
• Podstawowa jedynka trygonometryczna ma postać \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
• Na okręgu jednostkowym punkt odpowiadający kątowi \alpha ma współrzędne (\cos \alpha,\sin \alpha).
• Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi.