Największy wspólny dzielnik to największa liczba naturalna, która dzieli bez reszty dwie lub więcej liczb naturalnych. W skrócie zapisuje się go jako \operatorname{NWD}.
Największy wspólny dzielnik pozwala określić, jaka jest największa liczba wspólna dla dzielników danych liczb.
Co to jest dzielnik liczby?
Dzielnik liczby to taka liczba naturalna, przez którą daną liczbę można podzielić bez reszty.
Liczba d jest dzielnikiem liczby a, jeżeli istnieje taka liczba naturalna k, że:
a = d \cdot kgdzie:
- a — dana liczba naturalna,
- d — dzielnik liczby a,
- k — liczba naturalna,
- d \neq 0.
Inaczej mówiąc, dzielnik to liczba, która mieści się w danej liczbie całkowitą liczbę razy.
Definicja największego wspólnego dzielnika
Największy wspólny dzielnik dwóch liczb a i b to największa liczba naturalna, która dzieli bez reszty zarówno liczbę a, jak i liczbę b.
Zapis symboliczny:
\operatorname{NWD}(a,b)gdzie:
- a i b — liczby naturalne,
- \operatorname{NWD}(a,b) — największy wspólny dzielnik liczb a i b.
Sposób 1: wypisywanie dzielników
Najprostszy sposób wyznaczania NWD polega na wypisaniu wszystkich dzielników danych liczb i wybraniu największego dzielnika wspólnego.
Dzielniki liczby a oznaczamy jako:
D(a)Dzielniki liczby b oznaczamy jako:
D(b)Największy element wspólny tych dwóch zbiorów jest największym wspólnym dzielnikiem.
Można to zapisać symbolicznie:
\operatorname{NWD}(a,b)=\max\left(D(a)\cap D(b)\right)gdzie:
- D(a) — zbiór dzielników liczby a,
- D(b) — zbiór dzielników liczby b,
- D(a)\cap D(b) — część wspólna zbiorów dzielników,
- \max — największy element zbioru.
Ten sposób jest wygodny przy małych liczbach.
NWD więcej niż dwóch liczb
Największy wspólny dzielnik można wyznaczać także dla więcej niż dwóch liczb.
Dla trzech liczb zapisujemy:
\operatorname{NWD}(a,b,c)Można go obliczyć etapami:
\operatorname{NWD}(a,b,c)=\operatorname{NWD}(\operatorname{NWD}(a,b),c)Oznacza to, że najpierw można wyznaczyć NWD dwóch pierwszych liczb, a następnie obliczyć NWD otrzymanego wyniku i kolejnej liczby.
Liczby względnie pierwsze
Dwie liczby nazywamy względnie pierwszymi, jeżeli ich największy wspólny dzielnik jest równy 1.
Zapis symboliczny:
\operatorname{NWD}(a,b)=1W takiej sytuacji liczby a i b nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.
Najważniejsze zasady
- Największy wspólny dzielnik to największa liczba naturalna dzieląca dane liczby bez reszty.
- Skrót \operatorname{NWD} oznacza największy wspólny dzielnik.
- NWD można wyznaczać przez wypisywanie dzielników.
- NWD można wyznaczać przez rozkład na czynniki pierwsze.
- Dwie liczby są względnie pierwsze, jeżeli ich NWD jest równe 1.
