Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Najczęściej w szkole podstawowej używa się pierwiastka kwadratowego, czyli pierwiastka drugiego stopnia.
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej oznacza taką liczbę nieujemną, która podniesiona do kwadratu daje liczbę podpierwiastkową.
Budowa pierwiastka
Pierwiastek kwadratowy zapisujemy w postaci:
\sqrt{a}gdzie:
- a — liczba podpierwiastkowa,
- \sqrt{\ } — znak pierwiastka,
- a \geq 0.
Liczba podpierwiastkowa musi być nieujemna, ponieważ w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.
Definicja pierwiastka kwadratowego
Pierwiastek kwadratowy z liczby a to taka liczba nieujemna b, której kwadrat jest równy a.
Można to zapisać symbolicznie:
\sqrt{a}=b \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad b^2=agdzie:
- a \geq 0,
- b \geq 0.
Pierwiastek z kwadratu liczby
Pierwiastek z kwadratu liczby nieujemnej jest równy tej liczbie.
\sqrt{a^2}=agdzie:
- a \geq 0.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej poprawny zapis ogólny ma postać:
\sqrt{a^2}=|a|gdzie |a| oznacza wartość bezwzględną liczby a.
Kwadrat pierwiastka
Jeżeli liczba pod pierwiastkiem jest nieujemna, to kwadrat pierwiastka jest równy liczbie podpierwiastkowej.
\left(\sqrt{a}\right)^2=agdzie:
- a \geq 0.
Pierwiastek z iloczynu
Pierwiastek z iloczynu dwóch liczb nieujemnych jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.
\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}gdzie:
- a \geq 0,
- b \geq 0.
Ten wzór można stosować także w drugą stronę:
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}Pierwiastek z ilorazu
Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków, jeżeli licznik jest nieujemny, a mianownik dodatni.
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}gdzie:
- a \geq 0,
- b > 0.
Ten wzór można stosować także w drugą stronę:
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek polega na rozłożeniu liczby podpierwiastkowej na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej.
Jeżeli liczba pod pierwiastkiem ma postać a^2 \cdot b, to można zapisać:
\sqrt{a^2 \cdot b}=a\sqrt{b}gdzie:
- a \geq 0,
- b \geq 0.
Ten zapis pozwala uprościć pierwiastek, gdy liczba podpierwiastkowa zawiera czynnik będący kwadratem.
Włączanie czynnika pod pierwiastek
Włączanie czynnika pod pierwiastek jest działaniem odwrotnym do wyłączania czynnika przed pierwiastek.
Jeżeli przed pierwiastkiem stoi liczba a, to można ją włączyć pod pierwiastek jako a^2.
a\sqrt{b}=\sqrt{a^2 \cdot b}gdzie:
- a \geq 0,
- b \geq 0.
Pierwiastki podobne
Pierwiastki podobne to pierwiastki, które mają taką samą liczbę pod pierwiastkiem.
Wyrażenia:
a\sqrt{c}oraz:
b\sqrt{c}są pierwiastkami podobnymi, ponieważ mają tę samą liczbę podpierwiastkową c.
Pierwiastki podobne można dodawać i odejmować tak jak wyrazy podobne.
a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}oraz:
a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}Najważniejsze zasady
- Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania.
- Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej jest liczbą nieujemną.
- W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.
- Pierwiastek z iloczynu można rozdzielić na iloczyn pierwiastków.
- Pierwiastek z ilorazu można rozdzielić na iloraz pierwiastków, jeżeli mianownik jest dodatni.
- Czynnik można wyłączyć przed pierwiastek, jeżeli pod pierwiastkiem występuje kwadrat liczby.
- Czynnik można włączyć pod pierwiastek, zapisując go pod pierwiastkiem jako kwadrat.
- Pierwiastki podobne można dodawać i odejmować.
