Mnożenie wyrażeń algebraicznych — jednomiany, nawiasy i zasady

Mnożenie wyrażeń algebraicznych polega na mnożeniu współczynników liczbowych oraz odpowiednich części literowych. W szkole podstawowej najczęściej wykonuje się mnożenie jednomianów, mnożenie liczby przez wyrażenie w nawiasie oraz mnożenie prostych wyrażeń algebraicznych.

Podczas mnożenia wyrażeń algebraicznych trzeba zwracać uwagę na znaki, współczynniki liczbowe, litery oraz potęgi tych samych liter.

Czym jest wyrażenie algebraiczne?

Wyrażenie algebraiczne to zapis zbudowany z liczb, liter, znaków działań oraz czasem nawiasów.

Przykład wyrażenia algebraicznego:

3x + 5

W tym wyrażeniu występują:

• 3x — wyraz z literą,
• 5 — wyraz liczbowy.

Litera x oznacza pewną liczbę, a zapis 3x oznacza 3 \cdot x.

Czym jest jednomian?

Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczym iloczynem liczby i liter.

Przykłady jednomianów:

• 3x,
• -2a,
• 5xy,
• 4x^2,
• -7ab^2.

Jednomian nie zawiera dodawania ani odejmowania jako głównego działania. Może jednak zawierać mnożenie liczb i liter.

Budowa jednomianu

Jednomian składa się zwykle ze współczynnika liczbowego oraz części literowej.

Przykład:

5x^2y

gdzie:

• 5 — współczynnik liczbowy,
• x^2y — część literowa.

Jeżeli przy literze nie zapisano współczynnika liczbowego, to przyjmuje się, że współczynnik jest równy 1.

Na przykład:

x = 1x

oraz:

-x = -1x

Mnożenie jednomianów

Mnożenie jednomianów polega na pomnożeniu współczynników liczbowych oraz pomnożeniu części literowych.

Ogólna zasada:

(a x) \cdot (b x) = (a \cdot b)x^2

gdzie:

• a i b — współczynniki liczbowe,
• x — część literowa.

Jeżeli mnożone są te same litery, korzysta się z zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie.

x^m \cdot x^n = x^{m+n}

gdzie m i n są wykładnikami potęg.

Mnożenie różnych liter

Jeżeli mnożone są różne litery, zapisuje się je obok siebie jako iloczyn.

Ogólna zasada:

a \cdot b = ab

Przykładowo zapis xy oznacza x \cdot y.

W algebrze zwykle pomija się znak mnożenia między literami.

Mnożenie liczby przez jednomian

Podczas mnożenia liczby przez jednomian mnożymy liczbę przez współczynnik liczbowy jednomianu, a część literowa pozostaje bez zmian.

Ogólna zasada:

a \cdot bx = (a \cdot b)x

gdzie:

• a — liczba,
• b — współczynnik liczbowy jednomianu,
• x — część literowa.

Mnożenie liczby przez wyrażenie w nawiasie

Jeżeli liczba stoi przed nawiasem, mnoży się ją przez każdy wyraz znajdujący się w nawiasie.

Ogólna zasada:

a(b+c)=ab+ac

oraz:

a(b-c)=ab-ac

gdzie:

• a — czynnik stojący przed nawiasem,
• b i c — wyrazy w nawiasie.

Ta zasada wynika z rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania.

Mnożenie jednomianu przez wyrażenie w nawiasie

Jeżeli przed nawiasem stoi jednomian, mnoży się go przez każdy wyraz znajdujący się w nawiasie.

Ogólna zasada:

ax(b+c)=axb+axc

oraz:

ax(b-c)=axb-axc

gdzie:

• ax — jednomian stojący przed nawiasem,
• b i c — wyrazy w nawiasie.

Każdy wyraz z nawiasu musi zostać pomnożony przez czynnik stojący przed nawiasem.

Mnożenie dwóch nawiasów

Podczas mnożenia dwóch nawiasów każdy wyraz z pierwszego nawiasu mnoży się przez każdy wyraz z drugiego nawiasu.

Ogólna zasada:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Dla wyrażeń z odejmowaniem trzeba dodatkowo uważać na znaki:

(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd

oraz:

(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd

Każdy składnik pierwszego nawiasu mnoży się przez każdy składnik drugiego nawiasu.

Zasady znaków przy mnożeniu

Podczas mnożenia wyrażeń algebraicznych obowiązują takie same zasady znaków jak przy mnożeniu liczb.

Najważniejsze zasady:

• plus razy plus daje plus,
• plus razy minus daje minus,
• minus razy plus daje minus,
• minus razy minus daje plus.

Można to zapisać symbolicznie:

(+a)(+b)=+ab (+a)(-b)=-ab (-a)(+b)=-ab (-a)(-b)=+ab

Porządkowanie wyniku

Po wykonaniu mnożenia warto uporządkować wynik. Oznacza to zapisanie wyrazów w czytelnej kolejności oraz połączenie wyrazów podobnych, jeżeli takie występują.

Wyrazy podobne można połączyć według zasady:

ax+bx=(a+b)x

Porządkowanie wyniku pozwala uzyskać prostszą i bardziej czytelną postać wyrażenia algebraicznego.

Najczęstsze błędy

• pomnożenie tylko pierwszego wyrazu w nawiasie,
• pominięcie znaków minus,
• błędne mnożenie potęg o tej samej podstawie,
• dodawanie wykładników przy różnych literach,
• łączenie wyrazów, które nie są podobne,
• brak uporządkowania wyniku po mnożeniu.

Najważniejsze zasady

• Mnożenie jednomianów polega na pomnożeniu współczynników liczbowych i części literowych.
• Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodaje się wykładniki.
• Różne litery zapisuje się obok siebie jako iloczyn.
• Liczbę przed nawiasem mnoży się przez każdy wyraz w nawiasie.
• Jednomian przed nawiasem mnoży się przez każdy wyraz w nawiasie.
• Przy mnożeniu dwóch nawiasów każdy wyraz z pierwszego nawiasu mnoży się przez każdy wyraz z drugiego nawiasu.
• Podczas mnożenia trzeba zwracać uwagę na znaki.
• Po wykonaniu mnożenia warto połączyć wyrazy podobne.