Proporcje w wyrażeniach algebraicznych — zasady i zastosowanie

Proporcje są sposobem zapisywania równości dwóch ilorazów. W kontekście wyrażeń algebraicznych pozwalają opisywać zależności między wielkościami za pomocą liter, liczb i ułamków.

Na poziomie szkoły podstawowej proporcje pojawiają się między innymi w zadaniach tekstowych, skalach, procentach, przeliczaniu jednostek oraz opisie wielkości wprost proporcjonalnych.

Czym jest proporcja?

Proporcja to równość dwóch ilorazów.

Można ją zapisać w postaci:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

gdzie:

• a i c — liczniki ułamków,
• b i d — mianowniki ułamków,
• b \neq 0,
• d \neq 0.

Proporcja oznacza, że dwa stosunki mają taką samą wartość.

Stosunek dwóch wielkości

Stosunek dwóch wielkości to ich iloraz. Można go zapisać za pomocą kreski ułamkowej albo dwukropka.

Zapisy:

\frac{a}{b}

oraz:

a:b

oznaczają ten sam stosunek, pod warunkiem że b \neq 0.

W wyrażeniach algebraicznych litery mogą oznaczać wielkości, których stosunek porównujemy.

Proporcja z wyrażeniami algebraicznymi

W proporcji mogą występować nie tylko liczby, ale także wyrażenia algebraiczne.

Przykładowy zapis proporcji algebraicznej:

\frac{x}{4}=\frac{3}{8}

W tym zapisie litera x oznacza nieznaną wielkość. Proporcja pokazuje, że stosunek x do 4 jest równy stosunkowi 3 do 8.

Inny przykład proporcji z wyrażeniem algebraicznym:

\frac{x+2}{5}=\frac{6}{10}

W tym przypadku w liczniku pierwszego ułamka występuje całe wyrażenie x+2.

Mnożenie na krzyż

Podstawową zasadą stosowaną w proporcjach jest mnożenie na krzyż. Jeżeli dwa ułamki są równe, to iloczyn licznika pierwszego ułamka i mianownika drugiego jest równy iloczynowi mianownika pierwszego ułamka i licznika drugiego.

Dla proporcji:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

otrzymujemy:

a \cdot d = b \cdot c

gdzie:

• b \neq 0,
• d \neq 0.

Mnożenie na krzyż pozwala zamienić proporcję na równanie bez ułamków.

Proporcja jako równanie

Proporcja z literą jest szczególnym rodzajem równania. Szukamy takiej wartości litery, aby oba ilorazy były sobie równe.

Przykładowo proporcja:

\frac{x}{a}=\frac{b}{c}

po zastosowaniu mnożenia na krzyż ma postać:

x \cdot c = a \cdot b

Jeżeli c \neq 0, można zapisać:

x=\frac{a \cdot b}{c}

W ten sposób proporcja umożliwia wyznaczenie nieznanej wielkości.

Wyrażenia algebraiczne w liczniku lub mianowniku

W proporcji wyrażenie algebraiczne może występować w liczniku albo w mianowniku ułamka.

Przykład wyrażenia algebraicznego w liczniku:

\frac{x+3}{4}=\frac{5}{8}

Po zastosowaniu mnożenia na krzyż:

8(x+3)=4 \cdot 5

Przykład wyrażenia algebraicznego w mianowniku:

\frac{6}{x+1}=\frac{3}{5}

Po zastosowaniu mnożenia na krzyż:

6 \cdot 5 = 3(x+1)

Jeżeli wyrażenie znajduje się w mianowniku, trzeba pamiętać, że mianownik nie może być równy 0.

Warunki w proporcjach algebraicznych

W proporcjach, podobnie jak w ułamkach, mianownik nie może być równy 0. Jeżeli w mianowniku znajduje się litera lub wyrażenie z literą, należy uwzględnić odpowiedni warunek.

Dla proporcji:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

obowiązują warunki:

b \neq 0

oraz:

d \neq 0

Dla proporcji:

\frac{x}{x-2}=\frac{3}{4}

trzeba zapisać warunek:

x-2 \neq 0

czyli:

x \neq 2

Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, jeżeli zwiększenie jednej z nich powoduje proporcjonalne zwiększenie drugiej, a zmniejszenie jednej powoduje proporcjonalne zmniejszenie drugiej.

Wielkości wprost proporcjonalne można opisać wzorem:

y = ax

gdzie:

• x i y — wielkości zależne od siebie,
• a — stały współczynnik proporcjonalności.

Oznacza to, że iloraz wielkości y i x jest stały:

\frac{y}{x}=a

gdzie x \neq 0.

Proporcje w zadaniach tekstowych

Proporcje pomagają zapisywać zależności opisane słowami za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Jeżeli pewna wielkość jest oznaczona literą x, to proporcja może służyć do porównania jej z inną wielkością.

Przykładowy zapis zależności:

\frac{x}{12}=\frac{3}{4}

oznacza, że wielkość x pozostaje do liczby 12 w takim samym stosunku jak 3 do 4.

Dzięki temu opis słowny można zamienić na równanie, które pozwala wyznaczyć nieznaną wartość.

Proporcje i skala

Proporcje są często używane przy zadaniach ze skalą. Skala opisuje stosunek długości na rysunku, planie lub mapie do długości w rzeczywistości.

Jeżeli skala ma postać:

1:n

to oznacza, że 1 jednostka na rysunku odpowiada n takim samym jednostkom w rzeczywistości.

Zależność tę można zapisać jako proporcję:

\frac{\text{długość na rysunku}}{\text{długość rzeczywista}}=\frac{1}{n}

Proporcja umożliwia obliczenie brakującej długości, jeżeli znane są pozostałe wielkości.

Proporcje i procenty

Proporcje można stosować również w zadaniach z procentami. Procent oznacza część setną całości.

Podstawowa zależność procentowa może być zapisana jako:

\frac{\text{część}}{\text{całość}}=\frac{p}{100}

gdzie:

• p — liczba procentów.

Jeżeli nieznana wielkość jest oznaczona literą, proporcja pozwala zapisać równanie z wyrażeniem algebraicznym.

Najczęstsze błędy

• zamiana licznika z mianownikiem tylko w jednym ułamku,
• brak zachowania tej samej kolejności wielkości po obu stronach proporcji,
• błędne mnożenie na krzyż,
• pomijanie nawiasów przy wyrażeniach algebraicznych,
• nieuwzględnienie warunku, że mianownik nie może być równy 0,
• mylenie dodawania z mnożeniem przy przekształcaniu proporcji.

Najważniejsze zasady

• Proporcja to równość dwóch ilorazów.
• W proporcji mogą występować liczby, litery oraz wyrażenia algebraiczne.
• Stosunek dwóch wielkości można zapisać jako ułamek albo za pomocą dwukropka.
• Przy proporcji \frac{a}{b}=\frac{c}{d} można zastosować mnożenie na krzyż: a \cdot d = b \cdot c.
• Mianowniki w proporcji muszą być różne od 0.
• Jeżeli w proporcji występuje wyrażenie w nawiasie, podczas mnożenia na krzyż trzeba zachować nawias.
• Proporcje pomagają zapisywać zależności w zadaniach tekstowych, skali i procentach.