Liczby naturalne i całkowite — definicje, przykłady i różnice

Liczby naturalne i liczby całkowite to podstawowe zbiory liczb poznawane w szkole podstawowej. Służą do liczenia, porządkowania, zapisywania wyników działań oraz opisywania wielkości dodatnich, ujemnych i zera.

Liczby naturalne są związane głównie z liczeniem przedmiotów, natomiast liczby całkowite rozszerzają ten zapis o liczby ujemne.

Czym są liczby naturalne?

Liczby naturalne to liczby używane do liczenia. Za ich pomocą można określić liczbę elementów, kolejność albo ilość.

Przykłady liczb naturalnych:

0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \ldots

Zbiór liczb naturalnych oznacza się symbolem:

\mathbb{N}

Można więc zapisać:

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}

W szkole podstawowej najczęściej przyjmuje się, że liczba 0 należy do zbioru liczb naturalnych.

Liczby naturalne dodatnie

Czasami wyróżnia się liczby naturalne dodatnie, czyli liczby naturalne bez zera.

Zbiór liczb naturalnych dodatnich można zapisać jako:

\mathbb{N}_+=\{1,2,3,4,5,\ldots\}

Liczby naturalne dodatnie służą przede wszystkim do liczenia elementów wtedy, gdy liczba elementów jest większa od zera.

Czym są liczby całkowite?

Liczby całkowite to liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero.

Przykłady liczb całkowitych:

\ldots,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \ldots

Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem:

\mathbb{Z}

Można więc zapisać:

\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}

Liczby dodatnie, ujemne i zero

W zbiorze liczb całkowitych można wyróżnić liczby dodatnie, liczby ujemne oraz zero.

• Liczby dodatnie są większe od zera, na przykład 1, 2, 15.
• Liczby ujemne są mniejsze od zera, na przykład -1, -4, -20.
• Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Można to zapisać symbolicznie:

a > 0 \quad \text{liczba dodatnia} a < 0 \quad \text{liczba ujemna} a = 0 \quad \text{zero}

Liczby przeciwne

Liczby przeciwne to dwie liczby, które leżą po przeciwnych stronach zera na osi liczbowej i mają taką samą odległość od zera.

Przykłady liczb przeciwnych:

• 3 i -3,
• 7 i -7,
• 25 i -25.

Liczbą przeciwną do liczby a jest liczba:

-a

Suma liczb przeciwnych jest równa zero:

a+(-a)=0

Oś liczbowa

Liczby naturalne i całkowite można przedstawić na osi liczbowej. Na osi liczbowej liczby są uporządkowane od najmniejszych do największych.

Liczby po prawej stronie zera są dodatnie, a liczby po lewej stronie zera są ujemne.

Im liczba znajduje się dalej na prawo na osi liczbowej, tym jest większa. Im znajduje się dalej na lewo, tym jest mniejsza.

Przykładowy porządek liczb całkowitych:

-4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4

Porównywanie liczb naturalnych i całkowitych

Porównywanie liczb polega na ustaleniu, która liczba jest większa, mniejsza albo czy liczby są równe.

Do porównywania używa się znaków:

• > — większe niż,
• < — mniejsze niż,
• = — równe.

Przykładowo:

5 > 2 -3 < 1 -6 < -2

W przypadku liczb ujemnych trzeba pamiętać, że liczba położona dalej od zera po lewej stronie osi liczbowej jest mniejsza.

Zależność między liczbami naturalnymi i całkowitymi

Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą, ale nie każda liczba całkowita jest liczbą naturalną.

Oznacza to, że zbiór liczb naturalnych jest częścią zbioru liczb całkowitych.

Można to zapisać symbolicznie:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

Symbol \subset oznacza, że jeden zbiór zawiera się w drugim.

Przykładowo liczby 0, 1, 2 i 10 są jednocześnie naturalne i całkowite. Natomiast liczby -1, -5 i -12 są całkowite, ale nie są naturalne.

Działania na liczbach naturalnych

W zbiorze liczb naturalnych można wykonywać podstawowe działania arytmetyczne, ale nie każde działanie zawsze daje wynik naturalny.

• Suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną.
• Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną.
• Różnica dwóch liczb naturalnych nie zawsze jest liczbą naturalną.
• Iloraz dwóch liczb naturalnych nie zawsze jest liczbą naturalną.

Przykładowo:

3+5=8 3\cdot 5=15

ale:

3-5=-2

Wynik -2 nie jest liczbą naturalną.

Działania na liczbach całkowitych

W zbiorze liczb całkowitych dodawanie, odejmowanie i mnożenie dwóch liczb całkowitych zawsze daje liczbę całkowitą.

• Suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.
• Różnica dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.
• Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.
• Iloraz dwóch liczb całkowitych nie zawsze jest liczbą całkowitą.

Przykładowo:

-4+7=3 5-9=-4 -3\cdot 6=-18

ale:

5:2=2{,}5

Wynik 2{,}5 nie jest liczbą całkowitą.

Zastosowanie liczb naturalnych

Liczby naturalne stosuje się wszędzie tam, gdzie liczymy elementy albo określamy kolejność.

Przykładowe zastosowania liczb naturalnych:

• liczba uczniów w klasie,
• liczba książek na półce,
• numer zadania,
• liczba punktów zdobytych w teście,
• kolejność miejsc w zawodach.

Zastosowanie liczb całkowitych

Liczby całkowite stosuje się wtedy, gdy potrzebne są także wartości ujemne.

Przykładowe zastosowania liczb całkowitych:

• temperatura poniżej zera,
• poziomy poniżej i powyżej parteru,
• dług lub strata,
• wynik meczu zapisany jako różnica punktów,
• wysokość względem ustalonego poziomu odniesienia.

Najczęstsze błędy

• uznawanie każdej liczby całkowitej za liczbę naturalną,
• traktowanie liczb ujemnych jako liczb naturalnych,
• uznawanie zera za liczbę dodatnią,
• błędne porównywanie liczb ujemnych,
• pomijanie znaku minus przy liczbach całkowitych ujemnych,
• uznawanie każdego wyniku dzielenia liczb całkowitych za liczbę całkowitą.

Najważniejsze zasady

• Liczby naturalne służą głównie do liczenia.
• W szkole podstawowej najczęściej przyjmuje się, że 0 jest liczbą naturalną.
• Zbiór liczb naturalnych oznacza się symbolem \mathbb{N}.
• Liczby całkowite obejmują liczby ujemne, zero i liczby dodatnie bez części ułamkowej.
• Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem \mathbb{Z}.
• Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą.
• Nie każda liczba całkowita jest liczbą naturalną.
• Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna.
• Liczby ujemne leżą na osi liczbowej po lewej stronie zera.