Liczby wymierne i niewymierne — definicje, przykłady i różnice

Liczby wymierne i niewymierne to kolejne ważne zbiory liczb poznawane w szkole podstawowej. Rozszerzają one wcześniejsze wiadomości o liczbach naturalnych i całkowitych, ponieważ obejmują także ułamki, liczby dziesiętne oraz liczby, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Podział na liczby wymierne i niewymierne pomaga rozróżniać liczby, które da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, od liczb, których w taki sposób zapisać się nie da.

Czym są liczby wymierne?

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi, a mianownik jest różny od zera.

Ogólny zapis liczby wymiernej:

\frac{a}{b}

gdzie:

• a — licznik, liczba całkowita,
• b — mianownik, liczba całkowita różna od zera,
• b \neq 0.

Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem:

\mathbb{Q}

Przykłady liczb wymiernych

Do liczb wymiernych należą między innymi liczby całkowite, ułamki zwykłe, liczby mieszane oraz liczby dziesiętne skończone lub okresowe.

Przykłady liczb wymiernych:

• 5,
• -3,
• 0,
• \frac{2}{3},
• -\frac{7}{4},
• 1{,}25,
• 0{,}(3),
• -2{,}1(6).

Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako ułamek o mianowniku 1, dlatego każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.

Przykładowo:

5=\frac{5}{1} -3=\frac{-3}{1}

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej

Liczby wymierne mają rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe.

Rozwinięcie dziesiętne skończone kończy się po określonej liczbie cyfr po przecinku.

Przykłady:

• 0{,}5,
• 1{,}25,
• -3{,}75.

Rozwinięcie dziesiętne okresowe ma powtarzający się fragment cyfr, nazywany okresem.

Przykłady:

• 0{,}(3)=0{,}3333\ldots,
• 0{,}(6)=0{,}6666\ldots,
• 1{,}2(7)=1{,}2777\ldots.

Czym są liczby niewymierne?

Liczby niewymierne to liczby, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku całkowitym.

Oznacza to, że liczba niewymierna nie ma postaci:

\frac{a}{b}

dla liczb całkowitych a i b, gdzie b \neq 0.

Liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

Przykłady liczb niewymiernych

Do liczb niewymiernych należą między innymi niektóre pierwiastki oraz znane stałe matematyczne.

Przykłady liczb niewymiernych:

• \sqrt{2},
• \sqrt{3},
• \sqrt{5},
• \pi.

Pierwiastek z liczby naturalnej jest niewymierny wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Przykładowo liczba \sqrt{4} nie jest niewymierna, ponieważ:

\sqrt{4}=2

Natomiast liczba \sqrt{2} jest niewymierna, ponieważ nie da się jej zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej

Liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe. Oznacza to, że po przecinku występuje nieskończenie wiele cyfr, ale nie tworzą one powtarzającego się okresu.

Przykłady zapisów przybliżonych:

• \sqrt{2}\approx 1{,}41421356\ldots,
• \sqrt{3}\approx 1{,}73205080\ldots,
• \pi\approx 3{,}14159265\ldots.

Wielokropek \ldots oznacza, że rozwinięcie dziesiętne trwa dalej.

Różnica między liczbą wymierną i niewymierną

Najważniejsza różnica polega na możliwości zapisania liczby w postaci ułamka zwykłego.

Rodzaj liczby	Cechy	Przykłady
Liczba wymierna	Można ją zapisać jako \frac{a}{b}, gdzie a,b \in \mathbb{Z} oraz b \neq 0	\frac{1}{2}, -3, 0{,}25, 0{,}(6)
Liczba niewymierna	Nie można jej zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych	\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi

Liczby całkowite jako liczby wymierne

Liczby całkowite należą do zbioru liczb wymiernych. Wynika to z tego, że każdą liczbę całkowitą można zapisać w postaci ułamka zwykłego o mianowniku 1.

Ogólny zapis:

a=\frac{a}{1}

gdzie a jest liczbą całkowitą.

Oznacza to, że:

\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

Symbol \subset oznacza, że jeden zbiór zawiera się w drugim.

Liczby wymierne i niewymierne na osi liczbowej

Liczby wymierne i niewymierne można zaznaczać na osi liczbowej. Każdej takiej liczbie odpowiada jeden punkt na osi liczbowej.

Liczby wymierne obejmują między innymi liczby całkowite, ułamki i liczby dziesiętne skończone lub okresowe.

Liczby niewymierne wypełniają miejsca między liczbami wymiernymi, ale nie można ich zapisać dokładnie jako ułamków zwykłych.

Przybliżenia liczb niewymiernych

Liczby niewymierne często zapisuje się w przybliżeniu, ponieważ ich rozwinięcia dziesiętne są nieskończone i nieokresowe.

Przykładowo:

\sqrt{2}\approx 1{,}41 \pi\approx 3{,}14

Znak \approx oznacza „w przybliżeniu”.

Przybliżenia są użyteczne w obliczeniach, ale nie są dokładnym zapisem liczby niewymiernej.

Najczęstsze błędy

• uznawanie każdej liczby z przecinkiem za liczbę niewymierną,
• traktowanie liczb całkowitych jako niewymiernych,
• uznawanie każdego pierwiastka za liczbę niewymierną,
• mylenie rozwinięcia okresowego z nieokresowym,
• zapisywanie liczby niewymiernej jako dokładnego ułamka zwykłego,
• mylenie wartości dokładnej z przybliżeniem.

Najważniejsze zasady

• Liczby wymierne można zapisać w postaci ułamka \frac{a}{b}, gdzie a i b są liczbami całkowitymi oraz b \neq 0.
• Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem \mathbb{Q}.
• Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.
• Liczby wymierne mają rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe.
• Liczb niewymiernych nie można zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych.
• Liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.
• Nie każdy pierwiastek jest liczbą niewymierną.
• Liczby niewymierne często zapisuje się w postaci dokładnej, na przykład \sqrt{2} lub \pi, albo w przybliżeniu.