Liczby pierwsze — definicja, przykłady i zasady rozpoznawania

Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które mają dokładnie dwa dzielniki naturalne: 1 oraz samą siebie. Są one ważne w matematyce, ponieważ służą między innymi do rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Liczby pierwsze można traktować jako podstawowe „elementy”, z których przez mnożenie można budować liczby złożone.

Czym jest dzielnik liczby?

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą można podzielić daną liczbę bez reszty.

Liczba a jest dzielnikiem liczby b, jeżeli dzielenie b:a daje wynik całkowity.

Można to zapisać symbolicznie:

b:a=c

gdzie:

• a — dzielnik,
• b — liczba dzielona,
• c — wynik dzielenia,
• a \neq 0.

Inny zapis tej samej zależności:

b=a \cdot c

Definicja liczby pierwszej

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: 1 oraz samą siebie.

Ogólnie można zapisać:

p \ \text{jest liczbą pierwszą} \iff D(p)=\{1,p\}

gdzie:

• p — liczba pierwsza,
• D(p) — zbiór dzielników liczby p,
• p > 1.

Oznacza to, że liczba pierwsza nie dzieli się bez reszty przez żadną inną liczbę naturalną poza 1 i samą sobą.

Przykłady liczb pierwszych

Pierwsze liczby pierwsze to:

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ldots

Każda z tych liczb ma dokładnie dwa dzielniki naturalne.

Przykładowo liczba 7 ma tylko dwa dzielniki:

D(7)=\{1,7\}

Dlatego liczba 7 jest liczbą pierwszą.

Liczba 2 jako liczba pierwsza

Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą.

Jej dzielniki to:

D(2)=\{1,2\}

Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda większa liczba parzysta ma co najmniej trzy dzielniki: 1, 2 oraz samą siebie, dlatego nie jest liczbą pierwszą.

Czy liczba 1 jest liczbą pierwszą?

Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą.

Wynika to z definicji liczby pierwszej. Liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa dzielniki naturalne, a liczba 1 ma tylko jeden dzielnik:

D(1)=\{1\}

Dlatego liczba 1 nie spełnia warunku bycia liczbą pierwszą.

Czym są liczby złożone?

Liczby złożone to liczby naturalne większe od 1, które mają więcej niż dwa dzielniki naturalne.

Przykłady liczb złożonych:

4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 14,\ 15,\ 16,\ldots

Przykładowo liczba 12 ma dzielniki:

D(12)=\{1,2,3,4,6,12\}

Ponieważ liczba 12 ma więcej niż dwa dzielniki, jest liczbą złożoną.

Różnica między liczbą pierwszą a złożoną

Rodzaj liczby	Warunek	Przykłady
Liczba pierwsza	Ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: 1 i samą siebie	2, 3, 5, 7, 11
Liczba złożona	Ma więcej niż dwa dzielniki naturalne	4, 6, 8, 9, 12

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?

Aby sprawdzić, czy liczba jest pierwsza, należy ustalić, czy ma dzielniki inne niż 1 i ona sama.

W praktyce można sprawdzić podzielność liczby przez kolejne liczby pierwsze mniejsze od niej.

Jeżeli liczba dzieli się bez reszty przez inną liczbę niż 1 i ona sama, to nie jest liczbą pierwszą.

Jeżeli nie znajduje się żadnego takiego dzielnika, liczba jest pierwsza.

Sprawdzanie podzielności przez małe liczby pierwsze

Przy rozpoznawaniu liczb pierwszych często sprawdza się podzielność przez najmniejsze liczby pierwsze:

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ldots

Jeżeli badana liczba jest większa od jednej z tych liczb i dzieli się przez nią bez reszty, to jest liczbą złożoną.

Przykładowo liczba 21 nie jest pierwsza, ponieważ:

21:3=7

Oznacza to, że liczba 21 ma dzielniki inne niż 1 i 21.

Dlaczego nie trzeba sprawdzać wszystkich dzielników?

Przy sprawdzaniu, czy liczba jest pierwsza, nie trzeba testować wszystkich liczb mniejszych od badanej liczby. Wystarczy sprawdzać dzielniki nie większe niż pierwiastek z tej liczby.

Jeżeli liczba n jest złożona, to można ją zapisać jako iloczyn dwóch liczb naturalnych większych od 1:

n=a \cdot b

W takim iloczynie przynajmniej jeden z czynników jest mniejszy lub równy \sqrt{n}.

Dlatego przy sprawdzaniu liczby n wystarczy szukać dzielników do wartości \sqrt{n}.

Liczby pierwsze mniejsze od 100

Liczby pierwsze mniejsze od 100 to:

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97

Znajomość najmniejszych liczb pierwszych ułatwia rozkład liczb na czynniki pierwsze oraz sprawdzanie podzielności.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Każdą liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Taki zapis nazywa się rozkładem na czynniki pierwsze.

Przykład zapisu ogólnego:

n=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots

gdzie:

• n — liczba złożona,
• p_1, p_2, p_3, \ldots — liczby pierwsze.

Rozkład na czynniki pierwsze jest używany między innymi przy wyznaczaniu największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Zastosowanie liczb pierwszych

Liczby pierwsze są ważne, ponieważ pomagają opisywać budowę liczb naturalnych. Dzięki nim można rozkładać liczby złożone na prostsze czynniki.

Najczęstsze zastosowania liczb pierwszych w szkole podstawowej:

• sprawdzanie, czy liczba jest pierwsza czy złożona,
• rozkład liczb na czynniki pierwsze,
• wyznaczanie dzielników liczby,
• wyznaczanie największego wspólnego dzielnika,
• wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności,
• upraszczanie obliczeń z dzielnikami i wielokrotnościami.

Najczęstsze błędy

• uznawanie liczby 1 za liczbę pierwszą,
• uznawanie każdej liczby nieparzystej za pierwszą,
• pomijanie liczby 2 jako liczby pierwszej,
• mylenie liczb pierwszych z liczbami nieparzystymi,
• uznawanie liczby za pierwszą bez sprawdzenia jej dzielników,
• traktowanie każdej liczby większej od 1 jako pierwszej albo złożonej bez analizy dzielników.

Najważniejsze zasady

• Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne.
• Dzielnikami liczby pierwszej są tylko 1 i ta sama liczba.
• Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą.
• Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
• Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą.
• Liczby złożone mają więcej niż dwa dzielniki naturalne.
• Nie każda liczba nieparzysta jest liczbą pierwszą.
• Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze.